Dane są zbiory \(\displaystyle{ M \subset (0, \infty )}\), \(\displaystyle{ A subset [0, 2 pi)}\). Niech \(\displaystyle{ G = \left\{me^{ia} : m \in M \wedge a \in A \right\} \subset \CC}\)
Pokaż, że zbiór \(\displaystyle{ G}\) jest grupą z działaniem mnożenia liczb zespolonych wtedy i tylko
wtedy, gdy
(i) zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest grupą z działaniem mnożenia liczb rzeczywistych
oraz
(ii) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest grupą z działaniem \(\displaystyle{ \diamond}\) takim, że
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c \in A} a \diamond b = c \Leftrightarrow \left( \exists_{k \in \ZZ} a+b = 2k\pi + c \right)}\)
no i mam z nim nie ukrywam duży problem, niezbyt wiem jak je zrobić, może pokażę do czego doszedłem w (i) ale cały czas mam wrażenie, że to co robię jest nieuzasadnione i niezbyt jestem przekonany o poprawności tego:
Ukryta treść:
Z warunków struktury zwanej grupą mam:
warunek I \(\displaystyle{ m_1 e^{i\alpha} \cdot_z (m_2e^{i\beta} \cdot_z m_3e^{i\gamma}) = (m_1 e^{i\alpha} \cdot_z m_2e^{i\beta}) \cdot_z m_3e^{i\gamma}}\)
\(\displaystyle{ m_1 e^{i\alpha}\cdot_z (m_2 \cdot_r m_3)(e^{i\beta} \cdot_z e^{i\gamma})=(m_1 \cdot_r m_2)(e^{i\alpha} \cdot_z e^{i\beta}) \cdot_z m_3e^{i\gamma}}\)
Aby to było prawdą, prawdą musi być: \(\displaystyle{ (m_1 \cdot_r m_2) \cdot_r m_3 = m_1 \cdot_r (m_2 \cdot_r m_3)}\)
więc warunek \(\displaystyle{ I}\) (o łączności) grupy \(\displaystyle{ (M, \cdot_r)}\) jest spełniony.
Nie mam pojęcia czy to jest dobrze, nawet jeśli jest dobrze, to czy nie jest to zbyt skomplikowane? Nie potrafię zupełnie tym sposobem pociągnąć dalej... a co dopiero podpunkt drugi...
