Przestrzeń liniowa - przykład

[Percepton]

Podaj przykład przestrzeni liniowej, w której istnieją układy liniowo niezależne dowolnej
skończonej długości i wskaż takie układy.

Myślę, że taką przestrzenią liniową mógłby być zbiór wektorów \(\displaystyle{ \RR^5}\) z standardowymi działaniami na wektorach. Jednak jak wskazać takie układy?

[a4karo]

Przykład jest ok pod warunkiem, że ciało nad którym rozpatrujesz te przestrzeń nie jest ciałem liczb rzeczywistych

[Premislav]

Myślę, że prościej będzie potraktować \(\displaystyle{ \RR}\) jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \QQ}\) (skalary z \(\displaystyle{ \QQ}\), wektory to elementy \(\displaystyle{ \RR}\)) i pokazać, że wówczas taki oto układ jest liniowo niezależny:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots \sqrt{p_n}}\)
(pierwiastki kwadratowe z liczb pierwszych). Chociaż pewnie da się jakoś ładniej i sensowniej.

[karolex123]

Można też wziąć przestrzeń wielomianów nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) z układem \(\displaystyle{ 1, x,..., x^n}\)

[Percepton]

Przykład jest ok pod warunkiem, że ciało nad którym rozpatrujesz te przestrzeń nie jest ciałem liczb rzeczywistych

dlaczego?

[a4karo]

Bo nad ciałem liczb rzeczywistych twoja przestrzeń ma wymiar \(\displaystyle{ 5}\). Co z tego wynika?

[Percepton]

Faktycznie ma wymiar \(\displaystyle{ 5}\), bo bazą może być \(\displaystyle{ e_1, e_2, e_3, e_4, e_5}\), ale nie widzę w czym to przeszkadza...

[a4karo]

To poszukaj siedmiu liniowo niezależnych wektorów

[Dasio11]

Przykład jest ok pod warunkiem, że ciało nad którym rozpatrujesz te przestrzeń nie jest ciałem liczb rzeczywistych

Nawiasem mówiąc, jeśli tę implikację rozumieć dosłownie, to jej dowód jest mocno nietrywialny (tzn. że jeśli \(\displaystyle{ \RR}\) jest skończonym rozszerzeniem pewnego podciała \(\displaystyle{ K}\), to \(\displaystyle{ K = \RR}\)).