Który z poniższych zbiorów wielomianów jest podprzestrzenią liniową
w \(\displaystyle{ R[x]}\)?
(a) \(\displaystyle{ \left\{ p : p(0) = 0\right\}}\)
(b) \(\displaystyle{ \left\{ p : p(1) = 0\right\}}\)
(c) \(\displaystyle{ \left\{ p : p(1) \cdot p( -1) = 0\right\}}\)
(d) \(\displaystyle{ \left\{ p : p(-1) + p(1) = 0\right\}}\)
proszę o sprawdzenie odpowiedzi - to nie są pełne rozwiązania, bardziej chodzi mi o to czy ostateczna odpowiedź się zgadza, czyli jeśli moim zdaniem odpowiedzią jest Nie, wnet napiszę kontrprzykład, a jeśli tak to oznacza, że z stwierdzenia o wyprowadzaniu wynika, ze jest to podprzestrzeń.
a) Nie bo pomnożenie przez skalar równy np. \(\displaystyle{ (-1)}\) sprawia, że \(\displaystyle{ \alpha \cdpt p(0) \le 0}\)
b)Tak
c)Tak
d)Tak
Ostatnio zmieniony 15 lis 2018, o 22:13 przez Leakof, łącznie zmieniany 1 raz.
a) Ten argument o niczym nie świadczy albo czegoś nie rozumiem, \(\displaystyle{ p(0)=0}\) i mnożenie przez jakikolwiek skalar tego nie zmieni.
c) Nie wiem co to jest \(\displaystyle{ \Delta}\) więc trudno mi powiedzieć.
reszta wygląda ok.
A to widzisz. W takim razie to c) nie jest podprzestrzenią bo na przykład wielomiany \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) takie że \(\displaystyle{ a(1)=0 \wedge a(-1) \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b(1) \neq 0 \wedge b(-1)=0}\) należy do \(\displaystyle{ \left\{ p : p(1) \cdot p( -1) = 0\right\}}\) ale ich suma już nie bo
\(\displaystyle{ (a+b)(1)=b(1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(-1)=a(-1) \neq 0}\)
tak więc \(\displaystyle{ (a+b)(1) \cdot (a+b)(-1) \neq 0}\) czyli \(\displaystyle{ a+b\not\in\left\{ p : p(1) \cdot p( -1) = 0\right\}}\)
