Proste zadania przestrzenie wektorowe

[VirtualUser]

Dobry wieczór,
czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć dlaczego wynikiem tej operacji:
\(\displaystyle{ 4[1,3 ,4 ]}\) jest \(\displaystyle{ [4,2,1]}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{5}^3}\)? Czy to jest coś związanego z tą piątką u dołu? Co ona właściwie oznacza?

Podobnie w \(\displaystyle{ \ZZ_{7}^3}\) mamy \(\displaystyle{ 4x = [6, 1, 3]}\) odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 5,2,6}\)

[Premislav]

Po prostu \(\displaystyle{ \ZZ_5=\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) i dodawanie wektorów po współrzędnych, jak i mnożenie przez skalar odbywa się modulo \(\displaystyle{ 5}\). Analogicznie
\(\displaystyle{ \ZZ_7=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\}}\) (zwykle rozważane z dodawaniem modulo \(\displaystyle{ 7}\), np. \(\displaystyle{ 3+_75=1}\), czyli reszta z dzielenia przez siedem zwykłego wyniku dodawania) i mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 7}\) (analogicznie). Serio nie było na wykładzie czy ćwiczeniach takiego oznaczenia i studenci sobie sami mają wyszukać, czego dotyczą zadania? Uważam, że to niepoważne.

Przykładowo, skoro \(\displaystyle{ 4x= [6, 1, 3]}\) i w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) mamy \(\displaystyle{ 4^{-1}=2}\), to
\(\displaystyle{ x=2[6,1,3]=[(2\cdot 6)\pmod{7}, (2\cdot 1)\pmod{7}, (2\cdot 3)\pmod{7}]=[5,2,6]}\).

[VirtualUser]

Ten typ tak dla siebie, poza studiami. Po prostu wpadłem na te proste zadanie a tu zdziwko... Okej, pierwszy przykład to wyjaśnia, ale drugi:

\(\displaystyle{ 4x = \left[ 6, 1, 3 \right] \\
x = \frac{1}{4} \left[ 6, 1, 3 \right] \\
x = \left[ \frac{3}{2} ,\frac{1}{4} ,\frac{3}{4} \right]}\)
a skoro rozważamy to w liczbach całkowitych to odpowiedzią... nie powinno być \(\displaystyle{ 0}\)?

[Premislav]

Jak już próbowałem tłumaczyć (widocznie za kiepsko jak dotąd), w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) mamy \(\displaystyle{ \frac 1 4=2}\) (nie przerażaj się, to po lewej to nie jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \frac 1 4}\), tylko element odwrotny do \(\displaystyle{ 4}\) względem mnożenia modulo \(\displaystyle{ 7}\), tj. takie \(\displaystyle{ a\in\ZZ_7}\), że \(\displaystyle{ 4a\equiv 1\pmod{7}}\); ogólnie w \(\displaystyle{ \ZZ_n}\) z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ n}\) taki element odwrotny istnieje dla każdego elementu względnie pierwszego z \(\displaystyle{ n}\)).
Zdaje się, że skoro piszesz o zerach, to zinterpretowałeś to tak, jakbyś np. dzielił całkowitoliczbowo w jakimś ceplusplusie. Ale tutaj mamy arytmetykę modularną, to inna bajka. W \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) mamy \(\displaystyle{ 3\cdot \frac 1 4=3\cdot 2=6}\).