Rozpatrzmy metodę gradientów sprzężonych do minimalizacji funkcji kwadratowej postaci
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} x^{T}Qx − b^{T} x}\) ,
przy czym macierz \(\displaystyle{ Q \in R^{n,n}}\) jest macierzą symetryczną i dodatnio
określoną. Metoda generuje ciąg \(\displaystyle{ x_{k}}\) otrzymany w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k}}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{k}=argmin_{\alpha>0}[\phi_{k}(\alpha)=f(x_{k}+\alpha d_{k})]}\)
przy czym \(\displaystyle{ d_{k}}\) są kierunkami metody gradientów sprzężonych. Udowodnić, że \(\displaystyle{ x_{k+1}}\)
minimalizuje funkcję \(\displaystyle{ f}\) na podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ N_{k}=\{x \in R : x=x_{1} + span\{g_{1},Qg_{1},...,Q^{k-1}g_{1}\}\}}\)
\(\displaystyle{ g_{1}=\nabla f(x_{1})}\).
Wskazówka: wykazać, że:
\(\displaystyle{ span\{g_{1},g_{2},...,g_{k}\}=span\{g_{1},Qg_{1},...,Q^{k-1}g_{1}\}, \forall k = 1,...,n}\)
Mam z tym problem właściwie nie wiem nawet jak skorzystać ze wskazówki, może wie ktoś jak do tego podejść?