Baza i wymiar przestrzeni V

[mmss]

Mamy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{\left[\begin{array}{ccc}z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array}\right] \in M_{2\times 2}(\ZZ_{11}) : z_{11}+z_{22}=2z_{12} \right\}}\). Liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) to sa liczby modulo \(\displaystyle{ 11}\) czyli w zakresie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 10}\), tak mi sie wydaje. Czy mógłbym prosić o wsparcie, jak to ruszyć? Staram się zrozumieć idee przestrzeni wektorowych na ciut bardziej wymyślnych przykladach.

Jak wyznaczyc baze oraz wymiar tej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)

[Ben_Kart]

Z tego co pamiętam, to żeby mieć przestrzeń liniową to musisz mieć jeszcze określone działania na zbiorze, mnożenie przez skalar i dodawanie wektorów. Zakładam że jest to zwykłe mnożenie elementami z \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) i zwyłe dodawanie macierzy.

Wydaje mi się że taki zbiór będzie bazą:

\(\displaystyle{ B = \left\{\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}}\)

Teraz trzeba sprawdzić czy zbiór ten jest liniowo niezależny i czy rozpina całą przestrzeń.

[mmss]

Mnożenie przez skalar \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) czyli masz na myśli mnożenie i wynik dzielony przez \(\displaystyle{ 11}\) gdzie wynikiem będzie ostatecznie reszta z tego dzielenia ? Tak ?

[Ben_Kart]

Tak

[mmss]

Ale skoro \(\displaystyle{ z_{ij}}\) w macierzy to liczby całkowite, to wydaje mi się że w bazie która podałeś, nie powinno być liczb wymiernych, chyba że czegoś nie widze.

[Ben_Kart]

No tak masz rację, trzeba to jakoś zmodyfikować, ale Ida wydaje mi się dobra.

\(\displaystyle{ B = \left\{\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}}\)

Może taka baza by się zgadzała, nie wiem trzeba to po przeliczać, ale z konstrukcji tej przestrzeni wydaje się że powinny byś 3 elementy w bazie.