Niech \(\displaystyle{ W,V}\) będą \(\displaystyle{ 7-}\) wymiarowymi podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \RR^9}\). Wykazać mam iż \(\displaystyle{ dim(W \cap V) \ge 4}\).
Mój pomysł generalnie polega na tym że jeśli obie przestrzenie muszą zawierać w sobie bazę \(\displaystyle{ 7}\) elementową, to pewne \(\displaystyle{ 5}\) elementów bazy \(\displaystyle{ W}\) musi być możliwe do skonstruowania w podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\)i również na odwrót. A więc część wspólna w przypadku kiedy te przestrzenie mają "najmniej" ze sobą wspólne to wtedy, gdy ich przecięcie jest \(\displaystyle{ 5}\) wymiarowe, a więc \(\displaystyle{ dim(W \cap V ) \ge 5}\). Wydaje mi się że to co napisałem jest rozwiązaniem jednakże, możecie poradzić czy argumentacja ma ręce i nogi ?
Część wspólna przestrzeni siedmiowymiarowych
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Część wspólna przestrzeni siedmiowymiarowych
Intuicyjnie tak. Formalnie należałoby to zrobić z twierdzenia Steinitza. Uzupełnić jedną z baz do przestrzeni całego \(\displaystyle{ \R^9}\), zapisać w tej bazie wektory z drugiej przestrzeni itd.-- 10 lis 2018, o 19:58 --Można też skorzystać z równości
\(\displaystyle{ \dim (V \oplus W) = \dim V + \dim W - \dim (V \cap W)}\)
Mamy \(\displaystyle{ V \oplus W \subset \R^9}\), więc \(\displaystyle{ \dim (V \oplus W) \leq 9}\). Z powyższego
\(\displaystyle{ 9 \geq 7 + 7 - \dim(V \cap W),}\)
a stąd teza \(\displaystyle{ \dim (V \cap W) \geq 5}\).
\(\displaystyle{ \dim (V \oplus W) = \dim V + \dim W - \dim (V \cap W)}\)
Mamy \(\displaystyle{ V \oplus W \subset \R^9}\), więc \(\displaystyle{ \dim (V \oplus W) \leq 9}\). Z powyższego
\(\displaystyle{ 9 \geq 7 + 7 - \dim(V \cap W),}\)
a stąd teza \(\displaystyle{ \dim (V \cap W) \geq 5}\).