Rozpinanie przestrzeni Q^3

[mmss]

Mam problem z zadaniem, teorię algebry liniowej wydaje mi się iż rozumiem, ale jesli chodzi o przechodzenie do mniej typowych zadań, to nie idzie tak łatwo :

Niech \(\displaystyle{ v_{1} = (-1, 1, 1), v_{2} = (1, 1, 2), v_{3} = (-3, t, 0)}\).
Dla jakich \(\displaystyle{ t \in \QQ}\) układ \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3}}\) rozpina przestrzeńm \(\displaystyle{ \QQ^3}\).

Moja próba :
Niech \(\displaystyle{ v = (a,b,c)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \QQ}\). Skoro układ \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3}}\) ma rozpinać przestrzeń \(\displaystyle{ \QQ^3}\) to dla dowolnego wektora postaci \(\displaystyle{ (a,b,c) \in \QQ^3}\) musi istnieć kombinacja liniowa \(\displaystyle{ \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\lambda_{3}v_{3} = (a,b,c)}\).
Czyli po pierwsze \(\displaystyle{ v_{1},v_{3},v_{3}}\) muszą być liniowo niezależne.
A to jak mi się wydaje, uzyskmy rozwiązujęc układ równań gdzie zmiennymi beda \(\displaystyle{ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}}\). Mając już wyznacozne \(\displaystyle{ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}}\) w zalezności od parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,t}\), uzyskamy odpowiedź, jakie musza być dowolnego wektora \(\displaystyle{ v}\) w bazie \(\displaystyle{ v_{1},v_{2},v_{3}}\). Czy dobrze kombinuje?

[Premislav]

Tak, \(\displaystyle{ v_1, \ v_2, \ v_3}\) muszą być liniowo niezależne (a nawet to wystarczy). Natomiast zamiast rozwiązywać układy równań (choć tak też się da), można w celu sprawdzenia liniowej niezależności obliczyć (wyjdzie zależny od \(\displaystyle{ t}\)) wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1&-3\\1&1&t\\1&2&0\end{array}\right]}\)
(w kolumnach macierzy wpisałem nasze wektory \(\displaystyle{ v_1, \ v_2, \ v_3}\))
i rozstrzygnąć dla jakich \(\displaystyle{ t\in \QQ}\) wyznacznik ten jest niezerowy.

[mmss]

Co do kwestii wyznaczników, nie mogę zbytnio sie na nie teraz powoływać bowiem ich nie miałem -- 10 lis 2018, o 14:45 --Będę miał taki układ równań : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}-1&1&-3&|& a\\1&1&t&|& b\\1&2&0&|& c\end{array}\right]}\)

Czy dobrym krokiem będzie teraz doprowadzenie tego układu do postaci schodkowej zredukowanej ?

[Premislav]

Czy dobrym krokiem będzie teraz doprowadzenie tego układu do postaci schodkowej zredukowanej ?

Jak powiedział największy Polak w historii, a można, jak najbardziej, jeszcze jak.

[mmss]

Rozumiem iż to taka szydercza próba prowokacji. Jesli dobrze wyłapałem aluzję to może zadam inaczej pytanie :
Czy ma sens doprowadzanie tej macierzy do postaci schodkowej zredukowanej?

[Premislav]

Sorry, mogłem to sobie darować, bo jak widać wprowadziło zamieszanie. Jak najbardziej sprowadzenie do postaci schodkowej jest dobrym krokiem.

[mmss]

Mhm, przeschodkowałem to i dostałem takie coś co nie wygląda optymistycznie :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&|& -a+\frac{b+a}{t-3} - 4\frac{-2c+2a-3(b+a)}{-6-3(t-3)}\\0&1&0&|& \frac{b+a}{t-3}-\frac{-2c+2a-3(b+a)}{-6-3(t-3)}\\0&0&1&|& \frac{-2c+2a-3(b+a)}{-6-3(t-3)}\end{array}\right]}\)

Czy możesz doradzić, jak powinienem przeanalizować to sensownie ?

[janusz47]

Nie trzeba sprowadzać do zredukowanej postaci schodkowej. Wystarczy sprowadzić ten układ do postaci schodkowej.

[mmss]

Może inaczej, weźmy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1&-3\\1&1&t\\1&2&0\end{array}\right]}\). Jak mam sprawdzić, dokonując redukcji wierszowej, kiedy wiersze tej macierzy sa liniowo niezależne - oczywiście w zależności od parametru ?

[Premislav]

Zauważ, że operacje, które wykonałeś, nie zawsze są możliwe do przeprowadzenia:
jeżeli \(\displaystyle{ t-3=0 \vee -6-3(t-3)=0}\), to te ułamki, które otrzymałeś nie mają sensu liczbowego.
Obliczeń nie sprawdzałem, bo nie lubię.

Można też oszczędzić sobie nieco wysiłku i zauważyć, że wektory
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\1\\1\end{array}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]}\)
są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \QQ}\) (prosty rachunek), więc wystarczy rozważyć, dla jakich
\(\displaystyle{ t\in \QQ}\) istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), z których co najmniej jedna jest niezerowa, takie, że
\(\displaystyle{ \alpha\left[\begin{array}{c}-1\\1\\1\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\t\\0\end{array}\right]}\)
(wtedy ten układ wektorów będzie liniowo zależny, więc nie znajdziemy w nim trzech wektorów liniowo niezależnych, czyli nie będzie rozpinał \(\displaystyle{ \QQ^3}\)). A to jest bardzo proste, wychodzi tylko \(\displaystyle{ t=3}\), czyli dla \(\displaystyle{ t\neq 3}\) jest to układ trzech liniowo niezależnych wektorów w \(\displaystyle{ \QQ^3}\), a więc baza \(\displaystyle{ \QQ^3}\).

[mmss]

Zauważ, że operacje, które wykonałeś, nie zawsze są możliwe do przeprowadzenia:
jeżeli \(\displaystyle{ t-3=0 \vee -6-3(t-3)=0}\), to te ułamki, które otrzymałeś nie mają sensu liczbowego.
Obliczeń nie sprawdzałem, bo nie lubię.

Zakładając że obiczenia dobrze wykonałem, rozumiem że dla tych liczb dla których nie da się wykonać obliczeń, otrzymujemy układ liniowo zależny. A dla wszystkich pozostałych, mamy rozwiązanie dla każdego parametru?

[Premislav]

Tak, dobrze rozumiesz (ale wydaje mi się, że wkradł się pewien błąd rachunkowy).

[Milczek]

Mhm ale niepokoi mnie jedna rzecz, właściwie to dwie. Po pierwsze - czy jeśli mówimy ze przestrzeń W jest nad ciałem K, to wektory czyli elementy W są zbudowane z elementów ciała K? Czy ciało jest w definicji przestrzeni liniowej potrzebne tylko do definicji mnożenia elementów W przez jakieś skalary z K?

A po drugi, czy my w tym rozwiązaniu korzystamy w jakiś istotny sposób że mamy ciało liczb wymiernych a nie jakieś inne?

[karolex123]

czy jeśli mówimy ze przestrzeń W jest nad ciałem K, to wektory czyli elementy W są zbudowane z elementów ciała K? Czy ciało jest w definicji przestrzeni liniowej potrzebne tylko do definicji mnożenia elementów W przez jakieś skalary z K?

Cokolwiek znaczy określenie: "zbudowane z elementów ciała", to chyba odpowiedź na Twoje pytanie brzmi nie. Można bowiem rozważać np. zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb R}\) z dodawaniem i mnożeniem przez liczby z \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) jako przestrzeń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (wektory w tej przestrzeni nie bardzo wyglądają na zbudowane z \(\displaystyle{ \mathbb Q}\))

Co do drugiego pytania- określenie: "przestrzeń liniowa nad ciałem" oznacza, że elementy tej przestrzeni, czyli wektory, umiemy mnożyć zgodnie z określonymi regułami (patrz: aksjomaty przestrzeni wektorowej) przez elementy tego ciała, czyli skalary. Mówiąc bardzo kolokwialnie- ciało wyposaża nas w skalary, dzięki którym możemy skalować wektory