Dwa zadania z AL

[Rafsaf]

1.
Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza prostą o równaniu \(\displaystyle{ x=1}\), zaś \(\displaystyle{ F:\RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}}\) niech będzie przekształceniem liniowym o następującej własności: jeśli \(\displaystyle{ p \in l}\) to \(\displaystyle{ F(p) \in l}\).
a) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right]}\) jest wektorem własnym \(\displaystyle{ F}\)
b) Udowodnij, że \(\displaystyle{ 1}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ F}\)
c) Udowodnij, że jeśli wartość własna \(\displaystyle{ F}\) odpowiadająca wektorowi własnemu \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right]}\) nie jest równa \(\displaystyle{ 1}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ q \in l}\) t. że \(\displaystyle{ F(q)=q}\)

2.
Niech \(\displaystyle{ F: \RR ^{2} \times \RR ^{2} \rightarrow \RR}\) będzie funkcją przypisującą parom wektorów liczby rzeczywiste. Załóżmy, że \(\displaystyle{ F}\) jest dwuliniowa i antysymetryczna. Udowodnij, że istnieje \(\displaystyle{ C \in \RR}\) że dla dowolnych \(\displaystyle{ U,V \in \RR}\) zachodzi wzór \(\displaystyle{ F(U,V)=C \cdot \det(U,V)}\)

Wiem co oznaczają pojęcia wektor własny, wartość własna, dwuliniowość i antysymetryczność funkcji, prosiłbym o wskazówki.

[a4karo]

Wsk Spróbuj pokazać, że \(\displaystyle{ F(x,y)=y}\)

[Janusz Tracz]

W pierwszym podpunkt a) wynika też z interpretacji geometrycznej. Fakt mówiący o tym że \(\displaystyle{ \forall\left( p\in l\right)\left( F(p)\in l\right)}\) mówi o tym że punkty z prostej są przekształcone na punkty na prostej, wektor rozpinający taką prostą jest wektorem własnym \(\displaystyle{ F}\). Geometrycznie to wygląda jak rozciągnięcie płaszczyzny w kierunku osi \(\displaystyle{ y}\).

[Rafsaf]

@a4karo
Nie rozumiem wskazówki(to chyba do zad 2?), wektor miałby być liczbą?

@Janusz Tracz
"wektor rozpinający taką prostą jest wektorem własnym"

Dlaczego tak właśnie jest? Wybacz, ale pomimo tego, że to oczywiste, nie widzę tego. Da się to jakoś uzasadnić inaczej niż interpretacją geometryczną?

[a4karo]

Sorry: \(\displaystyle{ F(x,y)=(0,y)}\)

[Rafsaf]

\(\displaystyle{ F(x,y)=(0,y)}\)
Sprecyzujmy co to oznacza, mam rozumieć że \(\displaystyle{ x,y}\) są jakimiś wektorami z \(\displaystyle{ \RR^2}\), natomiast \(\displaystyle{ (0,y)}\) czym? Z założenia ma być to jakaś liczba, a to oznaczenie sugeruje mi wektor lub przy dużej dozie dobrej woli macierz o takich kolumnach, ale nie liczbę

[a4karo]

\(\displaystyle{ [x,y]}\) jest wektorem w \(\displaystyle{ \RR^2}\) i podobnie \(\displaystyle{ [0,y]}\)

[Janusz Tracz]

Dlaczego tak właśnie jest? Wybacz, ale pomimo tego, że to oczywiste, nie widzę tego. Da się to jakoś uzasadnić inaczej niż interpretacją geometryczną?

Da się to inaczej uzasadnić właśnie a4karo to robi. Ja chciałem żebyś cię zastanowił jak przekształcenia liniowe działają. Jakbyś na płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2}\) naniósł siatkę a potem wykonał przekształcenie \(\displaystyle{ F}\) to jak przekształci się siatka? Nie jest to do końca jasne ale jedyne co wiemy to że warunek \(\displaystyle{ \forall\left( p\in l\right)\left( F(p)\in l\right)}\) zagwarantuje mam że punkty z prostej pozostaną na prostej czyli jednym z kierunków siatki mogą być proste typu \(\displaystyle{ x=1}\) i one się ni zmienna. Narysuj taką prostą i zobacz jaki ma wektor który ją generuje (albo napisz jej równanie parametryczne).

[Rafsaf]

Ok, to akurat bardzo mi pomogło, czyli przypomnienie(niby to wiem ale nie powiązałem takich faktów) jak zmienia się siatka gdy nakładamy na nią przekształcenie liniowe, widziałem takie rzeczy więc rzeczywiście wszystkie równoległe proste do \(\displaystyle{ l}\) nie zmienią się, w szczególności wektor (0,1) zachowa kierunek skoro \(\displaystyle{ x=1}\) jest do \(\displaystyle{ l}\) równoległa, nad tym jaką będzie miał wartość własną się jeszcze pozastanawiam ale nie dziś, tak samo nad wskazówką a4karo, na razie dziękuję.

[a4karo]

Soooorry, głupotę napisałem. Powinno być \(\displaystyle{ F(x,y)=(\alpha x+\beta y,y)}\)

[Dasio11]

Soooorry, głupotę napisałem. Powinno być \(\displaystyle{ F(x,y)=(\alpha x+\beta y,y)}\)

Znowu pudło.

Ad. 2: niech \(\displaystyle{ U = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \ V = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ F( U, V ) = F \left( a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)}\).

Teraz skorzystaj z dwuliniowości i antysymetrii.

[karolex123]

Co do zadania 1. to dowodziłbym tak:
a) skoro \(\displaystyle{ F}\) zachowuje prostą \(\displaystyle{ x=1}\), to \(\displaystyle{ F(1,0)=(1,a)}\) i \(\displaystyle{ F(1,1)=(1,b)}\), dla pewnych \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb R}\). To zaś oznacza \(\displaystyle{ F(0,1)=(0,b-a)=(b-a) (0,1)}\), czyli teza
b) na podstawie a) łatwo napisać jakąś macierz przekształcenia \(\displaystyle{ F}\). z niej można łatwo zobaczyć, że \(\displaystyle{ 1}\) jest wartością własną
c) policzyć

[Rafsaf]

Dziękuję Dasio11, podejrzewałem że będzie trzeba przedstawić te wektory jako kombinacje liniowe jakichś wektorów czy coś ale mi nie wychodziło a nie wpadłem że tymi wektorami mogą być wersory, to będzie mniej więcej


\(\displaystyle{ F( U, V ) = F \left( a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \\ \\ ab \cdot F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + ad \cdot F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) + cb \cdot F\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + cd \cdot F\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \\ \\ ad \cdot F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) - cb \cdot F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \\ \\ \\ \det(U,V) \cdot F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)}\)

Pasowało by jeszcze uzasadnić że \(\displaystyle{ F\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)}\) jest liczbą rzeczywistą, ale to wynika już z samego założenia czym \(\displaystyle{ F}\) jest.

Dziękuję też za zad 1 karolex123

[a4karo]

Przepraszam, we wszystkich moich wskazówkach wydawało mi się, że zachowywana jest prosta \(\displaystyle{ y=1}\)