Odtwarzanie macierzy

[ziajek444]

Czy jest mozliwe odtworzenia macierzy jeżeli znamy tylko jej normy (sumy poszczególnych wierszy i kolumn) oraz wyznacznik?

Osoba A stworzyła macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\), obliczyła normy i wyznacznik. Te dane podała osobie B. teraz osoba B wie że macierz jest \(\displaystyle{ 3\times3}\) ma takie i takie normy i taki wyznaczik.

Przykładowo:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}9&6&5\\4&8&3\\2&1&7\end{array}\right]}\)

Normy to: \(\displaystyle{ 20,15,10}\) i \(\displaystyle{ 15,15,15}\) i wyznacznik \(\displaystyle{ 285}\)

[kerajs]

Dla macierzy stopnia \(\displaystyle{ n}\) ilość jej elementów to \(\displaystyle{ n^2}\), sumy poszczególnych wierszy i kolumn oraz wyznacznik dają \(\displaystyle{ n+n+1}\) równań. Aby układ miał szansę być oznaczonym to ilość niewiadomych (elementów macierzy) nie może być większa niż ilość równań.
\(\displaystyle{ n^2 \le n+n+1 \Rightarrow n \in \left\{ 1,2\right\}}\)
Macierz 2x2 odtworzysz, ale większe już nie.

A jakie symetryczne macierze można odtworzyć znając sumy poszczególnych wierszy i kolumn oraz wyznacznik ?

[ziajek444]

A jeżeli znałbym też wartości na diagonali (przekątnej macierzy)?

[kerajs]

Wtedy miałbyś \(\displaystyle{ n^2-n}\) niewiadomych i \(\displaystyle{ 2n-1}\) równań. Rozwiązując nierówność kwadratową:
\(\displaystyle{ n^2-n \le 2n+1}\)
wychodzi, że prócz macierzy 2x2 odtworzyłbyś także macierz 3x3, ale nie większej już nie.

[ziajek444]

No masz racje.
Jakie muszę mieć informacje o macierzy żeby ją odtworzyć?
Może z macierzy można wyciągnąć coś innego?
Czy jest w ogóle taka możliwość?

[kerajs]

Na wszystkie te pytania odpowiedź jest jta sama: nie wiem. Kwestia jest zbyt ogólna, a ja nie widzę praktycznego sensu posiadania wielu informacji o macierzy, ale bez znajomości jej argumentów.

[ziajek444]

Jeszcze zobaczymy czy nie ma sensu.