Czy jest podprzestrzenią liniową
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Czy jest podprzestrzenią liniową
Witajcie, jak można wykazać taką zależność :
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a \(\displaystyle{ W}\) jej poprzestrzenią. Mam wykazać że \(\displaystyle{ V \setminus W}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).
Czy na takie zadania jest po prostu jakas ogólna metoda ?
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a \(\displaystyle{ W}\) jej poprzestrzenią. Mam wykazać że \(\displaystyle{ V \setminus W}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).
Czy na takie zadania jest po prostu jakas ogólna metoda ?
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Czy jest podprzestrzenią liniową
Co ma każda przestrzeń liniowa i czego w związku z tym na pewno nie ma w różnicy tych przestrzeni (co sprawia, że owa różnica przestrzenią liniową być nie może)?mmss pisze:Witajcie, jak można wykazać taką zależność :
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a \(\displaystyle{ W}\) jej podprzestrzenią. Mam wykazać że \(\displaystyle{ V \setminus W}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).
Tak, dobre zrozumienie definicji...mmss pisze:Czy na takie zadania jest po prostu jakas ogólna metoda ?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Ależ jest dowodem. Możesz to zapisać bardziej symbolicznie, tylko po co?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Mhm, a w takim przypadku gdy, mamy :
przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) i jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\). Mam wykazać że \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niewłaściwą.
Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.
przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) i jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\). Mam wykazać że \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niewłaściwą.
Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.
Ostatnio zmieniony 6 lis 2018, o 10:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
To oznacza, że \(\displaystyle{ W=V}\). Wynikanie w jedną stronę jest trywialne, pozostaje Ci pokazanie wynikania w drugą stronę, czyli pokazanie, że jeśli \(\displaystyle{ W}\) jest właściwą podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) nie jest podprzestrzenią liniową.mmss pisze:Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Jan Kraszewski pisze:To oznacza, że \(\displaystyle{ W=V}\).mmss pisze:Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.
Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, jeśli podprzestrzeń właściwa oznacza \(\displaystyle{ V}\) lub \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).mmss pisze:Mam wykazać że \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niewłaściwą.
Wskazówka: przy założeniu, że \(\displaystyle{ W \neq V}\) i \(\displaystyle{ W \neq \{ 0 \}}\) pokaż, że \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) nie jest zamknięta na dodawanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Czyli mam znaleźć takie wektory które nie należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) ale należą do \(\displaystyle{ V}\). Z kolei, biorąc cokolwiek z \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) przecież zawsze suma ich będzie w \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\)...
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Dzięki za poprawkę (te mnogościowe nawyki...), ale miałeś chyba na myśli podprzestrzeń niewłaściwą.Dasio11 pisze:Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, jeśli podprzestrzeń właściwa oznacza \(\displaystyle{ V}\) lub \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).
Nie, masz znaleźć dwa wektory, które należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\), ale których suma do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) nie należy.mmss pisze:Czyli mam znaleźć takie wektory które nie należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) ale należą do \(\displaystyle{ V}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Musze wrócić do tego zadania.
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).
Niech \(\displaystyle{ W \neq V \cup \{0\}}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\)
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).
Niech \(\displaystyle{ W \neq V \cup \{0\}}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2018, o 00:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeXa: \setminus. Nawiasy klamrowe to \{,\}.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeXa: \setminus. Nawiasy klamrowe to \{,\}.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
A to skąd?mmss pisze:Niech \(\displaystyle{ W \neq V \cup \{0\}}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
Musze wrócić do tego zadania.
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).
Niech \(\displaystyle{ W \neq V}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\).
Edytowałem, teraz wygląda poprawnie.
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).
Niech \(\displaystyle{ W \neq V}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\).
Edytowałem, teraz wygląda poprawnie.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy jest podprzestrzenią liniową
To jest masło maślane: jak wektor jest w \(\displaystyle{ V\setminus W}\), to siłą rzeczy nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Z warunku \(\displaystyle{ W\ne V}\) masz wywnioskować, że jest \(\displaystyle{ v\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ v\notin W.}\)mmss pisze:Wtedy w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\).
Jeśli masz \(\displaystyle{ v\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ v\notin W}\), to \(\displaystyle{ -v\notin W}\). Weź dowolne niezerowe \(\displaystyle{ w\in W}\) i zastanów się, jak z tego, co masz, skonstruować dwa wektory w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\), których suma nie należy do \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) (czyli należy do...).
JK