Czy jest podprzestrzenią liniową

[mmss]

Witajcie, jak można wykazać taką zależność :

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a \(\displaystyle{ W}\) jej poprzestrzenią. Mam wykazać że \(\displaystyle{ V \setminus W}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).

Czy na takie zadania jest po prostu jakas ogólna metoda ?

[Jan Kraszewski]

Witajcie, jak można wykazać taką zależność :

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a \(\displaystyle{ W}\) jej podprzestrzenią. Mam wykazać że \(\displaystyle{ V \setminus W}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).

Co ma każda przestrzeń liniowa i czego w związku z tym na pewno nie ma w różnicy tych przestrzeni (co sprawia, że owa różnica przestrzenią liniową być nie może)?

Czy na takie zadania jest po prostu jakas ogólna metoda ?

Tak, dobre zrozumienie definicji...

JK

[mmss]

Oczywiście mówimy o wektorze zerowym, lecz takie słowne wskazanie tego wekora nie jest dowodem lecz intuicją.

[Jan Kraszewski]

Ależ jest dowodem. Możesz to zapisać bardziej symbolicznie, tylko po co?

JK

[mmss]

Mhm, a w takim przypadku gdy, mamy :
przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) i jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\). Mam wykazać że \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niewłaściwą.

Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.

[Jan Kraszewski]

Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.

To oznacza, że \(\displaystyle{ W=V}\). Wynikanie w jedną stronę jest trywialne, pozostaje Ci pokazanie wynikania w drugą stronę, czyli pokazanie, że jeśli \(\displaystyle{ W}\) jest właściwą podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) nie jest podprzestrzenią liniową.

JK

[mmss]

Rozumiem, i ile wynikanie trywialne zrobiłem, to mógłbym poprosić o jakąś wskazówkę do drugiej części ?

[Dasio11]

Rozumiem że podprzestrzeń niewłaściwa to taka gdy \(\displaystyle{ W}\) jest całe swoją podprzestrzenią.

To oznacza, że \(\displaystyle{ W=V}\).

Mam wykazać że \(\displaystyle{ (V \setminus W ) \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niewłaściwą.

Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, jeśli podprzestrzeń właściwa oznacza \(\displaystyle{ V}\) lub \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).

Wskazówka: przy założeniu, że \(\displaystyle{ W \neq V}\) i \(\displaystyle{ W \neq \{ 0 \}}\) pokaż, że \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) nie jest zamknięta na dodawanie.

[mmss]

Czyli mam znaleźć takie wektory które nie należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) ale należą do \(\displaystyle{ V}\). Z kolei, biorąc cokolwiek z \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) przecież zawsze suma ich będzie w \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\)...

[Jan Kraszewski]

Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, jeśli podprzestrzeń właściwa oznacza \(\displaystyle{ V}\) lub \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).

Dzięki za poprawkę (te mnogościowe nawyki...), ale miałeś chyba na myśli podprzestrzeń niewłaściwą.

Czyli mam znaleźć takie wektory które nie należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) ale należą do \(\displaystyle{ V}\).

Nie, masz znaleźć dwa wektory, które należą do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\), ale których suma do \(\displaystyle{ (V \setminus W) \cup \{ 0 \}}\) nie należy.

JK

[Dasio11]

miałeś chyba na myśli podprzestrzeń niewłaściwą.

Tak, dzięki.

[mmss]

Musze wrócić do tego zadania.
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).

Niech \(\displaystyle{ W \neq V \cup \{0\}}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V\W \cup \{0\}}\)

[Jan Kraszewski]

Niech \(\displaystyle{ W \neq V \cup \{0\}}\).

A to skąd?

JK

[mmss]

Musze wrócić do tego zadania.
Czyli - wykazać że \(\displaystyle{ V\setminus W \cup \{0\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W = V}\).

Niech \(\displaystyle{ W \neq V}\). Wtedy w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Czy to spostrzeżenie jest tu przydatne? Jak można dalej to posunąć? Muszę wykazać że suma pewnych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) nie znajduje się w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\).

Edytowałem, teraz wygląda poprawnie.

[Jan Kraszewski]

Wtedy w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) istnieje wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) który nie należy do \(\displaystyle{ W}\).

To jest masło maślane: jak wektor jest w \(\displaystyle{ V\setminus W}\), to siłą rzeczy nie należy do \(\displaystyle{ W}\). Z warunku \(\displaystyle{ W\ne V}\) masz wywnioskować, że jest \(\displaystyle{ v\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ v\notin W.}\)

Jeśli masz \(\displaystyle{ v\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ v\notin W}\), to \(\displaystyle{ -v\notin W}\). Weź dowolne niezerowe \(\displaystyle{ w\in W}\) i zastanów się, jak z tego, co masz, skonstruować dwa wektory w \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\), których suma nie należy do \(\displaystyle{ V \setminus W \cup \{0\}}\) (czyli należy do...).

JK