Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Niech \(\displaystyle{ A}\) - diagonalizowalna macierz \(\displaystyle{ m \times m}\) z wielomianem charkaterystycznym \(\displaystyle{ p(z) = (z - \lambda_1)^{m_1} . . . (z-\lambda_r)^{m_r}}\) gdzie \(\displaystyle{ m_1 + m_2 + . . . +m_r = m}\)
Udowodnij:
A) \(\displaystyle{ p^r(z) = (z- \lambda_1) . . . (z-\lambda_r)}\) jest wielomianem minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\)
B) \(\displaystyle{ A = VV^T}\), gdzie \(\displaystyle{ V = [v_1, v_2], v_1,v_2 \in R^m}\). Pokazać że jakikolwiek wektor ortogonalny do \(\displaystyle{ span\{v_1, v_2\}}\) jest wektorem własnym A.
Wiem, że wielomian minimalny musi mieć stopień jeden przy najwyższej potędze i jest najmniejszym wielomianem dla którego \(\displaystyle{ p^r(A) = 0}\) i że dzieli on wielomian charakterystyczny, ale nie potrafię nic z tego wywnioskować co do tego zadania.
Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk, Polska
- Podziękował: 7 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne
Jest takie twierdzenie, które mówi, że wielomian minimalny nie ma pierwiastków rzędu większego niż \(\displaystyle{ m_i}\), gdzie \(\displaystyle{ m_i}\) jest rzędem wektora głównego odpowiadającego wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _i}\).
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne
A) Wiemy, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna, a wartościami własnymi są \(\displaystyle{ \lambda_1 , ..., \lambda_r}\). Istnieje zatem baza \(\displaystyle{ (v_1 , ..., v_m)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb K ^m}\) o tej własności, że dla każdego \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) mamy \(\displaystyle{ Av_i=\lambda_j v_i}\), dla pewnego \(\displaystyle{ j=1,...,r}\). Równoważnie możemy zapisać, że \(\displaystyle{ (A-\lambda _j I)v_i=0}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą identyczności wymiarów \(\displaystyle{ m \times m}\). Oznacza to zaś, że endomorfizm: \(\displaystyle{ p^r (A) := (A - \lambda_1 I) . . . (A-\lambda_r I)}\) jest trywialny (bo każdy z wektorów naszej bazy znika na którymś z czynników). Łatwo wykluczamy wielomiany niższych stopni, dzielących wielomian \(\displaystyle{ p^r}\) jako kandydatów na wielomian minimalny \(\displaystyle{ A}\)- brak któregoś z czynników spowoduje, że któryś z wektorów bazowych nie przejdzie na \(\displaystyle{ 0}\). Zatem \(\displaystyle{ p^r}\) jest minimalny dla \(\displaystyle{ A}\)
Ten sam argument ale szybciej: można obciąć nasz operator \(\displaystyle{ A}\) do podprzestrzeni własnej z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda_i}\) (bo to jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ A}\)- niezmiennicza) i zobaczyć bez żadnego rachunków, że taki obcięty operator ma wielomian minimalny \(\displaystyle{ p^i (z)=z- \lambda_i}\). Nietrudno też zobaczyć, że jeśli nasza przestrzeń jest sumą prostą podprzestrzeni niezmienniczych, to wielomian minimalny naszego operatora jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności wielomianów minimalnych operatorów obciętych do tych podprzestrzeni. To już daje tezę.-- 10 lis 2018, o 23:48 --B) Też jest łatwe. Zauważ, że wierszami macierzy \(\displaystyle{ V^T}\) są wektory \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest ortogonalny do \(\displaystyle{ span\{v_1, v_2\}}\), to \(\displaystyle{ V^T v=\left( v_1 \cdot v, v_2 \cdot v \right)=(0,0)}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ Av=0}\), czyli \(\displaystyle{ v}\) jest własny
Ten sam argument ale szybciej: można obciąć nasz operator \(\displaystyle{ A}\) do podprzestrzeni własnej z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda_i}\) (bo to jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ A}\)- niezmiennicza) i zobaczyć bez żadnego rachunków, że taki obcięty operator ma wielomian minimalny \(\displaystyle{ p^i (z)=z- \lambda_i}\). Nietrudno też zobaczyć, że jeśli nasza przestrzeń jest sumą prostą podprzestrzeni niezmienniczych, to wielomian minimalny naszego operatora jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności wielomianów minimalnych operatorów obciętych do tych podprzestrzeni. To już daje tezę.-- 10 lis 2018, o 23:48 --B) Też jest łatwe. Zauważ, że wierszami macierzy \(\displaystyle{ V^T}\) są wektory \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest ortogonalny do \(\displaystyle{ span\{v_1, v_2\}}\), to \(\displaystyle{ V^T v=\left( v_1 \cdot v, v_2 \cdot v \right)=(0,0)}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ Av=0}\), czyli \(\displaystyle{ v}\) jest własny