Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
slimakslimak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Podziękował: 7 razy

Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne

Post autor: slimakslimak »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Niech \(\displaystyle{ A}\) - diagonalizowalna macierz \(\displaystyle{ m \times m}\) z wielomianem charkaterystycznym \(\displaystyle{ p(z) = (z - \lambda_1)^{m_1} . . . (z-\lambda_r)^{m_r}}\) gdzie \(\displaystyle{ m_1 + m_2 + . . . +m_r = m}\)

Udowodnij:
A) \(\displaystyle{ p^r(z) = (z- \lambda_1) . . . (z-\lambda_r)}\) jest wielomianem minimalnym macierzy \(\displaystyle{ A}\)

B) \(\displaystyle{ A = VV^T}\), gdzie \(\displaystyle{ V = [v_1, v_2], v_1,v_2 \in R^m}\). Pokazać że jakikolwiek wektor ortogonalny do \(\displaystyle{ span\{v_1, v_2\}}\) jest wektorem własnym A.


Wiem, że wielomian minimalny musi mieć stopień jeden przy najwyższej potędze i jest najmniejszym wielomianem dla którego \(\displaystyle{ p^r(A) = 0}\) i że dzieli on wielomian charakterystyczny, ale nie potrafię nic z tego wywnioskować co do tego zadania.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne

Post autor: Benny01 »

Jest takie twierdzenie, które mówi, że wielomian minimalny nie ma pierwiastków rzędu większego niż \(\displaystyle{ m_i}\), gdzie \(\displaystyle{ m_i}\) jest rzędem wektora głównego odpowiadającego wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _i}\).
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Wielomian minimalny i charakterystyczny, wektory własne

Post autor: karolex123 »

A) Wiemy, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna, a wartościami własnymi są \(\displaystyle{ \lambda_1 , ..., \lambda_r}\). Istnieje zatem baza \(\displaystyle{ (v_1 , ..., v_m)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb K ^m}\) o tej własności, że dla każdego \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) mamy \(\displaystyle{ Av_i=\lambda_j v_i}\), dla pewnego \(\displaystyle{ j=1,...,r}\). Równoważnie możemy zapisać, że \(\displaystyle{ (A-\lambda _j I)v_i=0}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą identyczności wymiarów \(\displaystyle{ m \times m}\). Oznacza to zaś, że endomorfizm: \(\displaystyle{ p^r (A) := (A - \lambda_1 I) . . . (A-\lambda_r I)}\) jest trywialny (bo każdy z wektorów naszej bazy znika na którymś z czynników). Łatwo wykluczamy wielomiany niższych stopni, dzielących wielomian \(\displaystyle{ p^r}\) jako kandydatów na wielomian minimalny \(\displaystyle{ A}\)- brak któregoś z czynników spowoduje, że któryś z wektorów bazowych nie przejdzie na \(\displaystyle{ 0}\). Zatem \(\displaystyle{ p^r}\) jest minimalny dla \(\displaystyle{ A}\)

Ten sam argument ale szybciej: można obciąć nasz operator \(\displaystyle{ A}\) do podprzestrzeni własnej z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda_i}\) (bo to jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ A}\)- niezmiennicza) i zobaczyć bez żadnego rachunków, że taki obcięty operator ma wielomian minimalny \(\displaystyle{ p^i (z)=z- \lambda_i}\). Nietrudno też zobaczyć, że jeśli nasza przestrzeń jest sumą prostą podprzestrzeni niezmienniczych, to wielomian minimalny naszego operatora jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności wielomianów minimalnych operatorów obciętych do tych podprzestrzeni. To już daje tezę.-- 10 lis 2018, o 23:48 --B) Też jest łatwe. Zauważ, że wierszami macierzy \(\displaystyle{ V^T}\) są wektory \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest ortogonalny do \(\displaystyle{ span\{v_1, v_2\}}\), to \(\displaystyle{ V^T v=\left( v_1 \cdot v, v_2 \cdot v \right)=(0,0)}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ Av=0}\), czyli \(\displaystyle{ v}\) jest własny
ODPOWIEDZ