Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę

[Precelina]

Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę z dzielenia wielomianów \(\displaystyle{ P / Q}\), gdzie:

\(\displaystyle{ P(x)= x^{30} + 3x^{14} +2, \ Q(x)= x^{3} +1}\)

Wiem,że \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być w postaci \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c}\)

Czyli \(\displaystyle{ P(x)=(x^3+1) \cdot U(x) + R(x)}\)

Natomiast jak rozłożyć \(\displaystyle{ Q(x)}\),aby podstawić pierwiastki?

[kerajs]

Pierwiastki wielomianu Q to: \(\displaystyle{ -1 \ ; \ \frac{1}{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \ ; \ \frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2}}\) choć wygodniej będzie użyć ich w postaci wykładniczej: \(\displaystyle{ -1 \ ; \ e ^{i \frac{ \pi }{3} } \ ; \ e ^{i \frac{ -\pi }{3} }}\)

[Dasio11]

Można dużo prościej, choć wymaga to znajomości odrobiny algebry abstrakcyjnej. Aby wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ P : Q}\), wystarczy znaleźć reprezentanta warstwy \(\displaystyle{ P + (Q)}\) w pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \RR[x] / (Q)}\), który jest stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\). Ale w tym pierścieniu mamy \(\displaystyle{ x^3 = -1}\), czyli

\(\displaystyle{ P(x) = x^{30} + 3x^{14} + 2 = (x^3)^{10} + 3 (x^3)^4 \cdot x^2 + 2 = (-1)^{10} + 3 (-1)^4 \cdot x^2 + 2 = 3x^2 + 3}\),

a więc \(\displaystyle{ R(x) = 3x^2 + 3}\) jest szukanym reprezentantem, czyli resztą z dzielenia.