Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę z dzielenia wielomianów \(\displaystyle{ P / Q}\), gdzie:
\(\displaystyle{ P(x)= x^{30} + 3x^{14} +2, \ Q(x)= x^{3} +1}\)
Wiem,że \(\displaystyle{ R(x)}\) musi być w postaci \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c}\)
Czyli \(\displaystyle{ P(x)=(x^3+1) \cdot U(x) + R(x)}\)
Natomiast jak rozłożyć \(\displaystyle{ Q(x)}\),aby podstawić pierwiastki?
Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę
Pierwiastki wielomianu Q to: \(\displaystyle{ -1 \ ; \ \frac{1}{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2} \ ; \ \frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{2}}\) choć wygodniej będzie użyć ich w postaci wykładniczej: \(\displaystyle{ -1 \ ; \ e ^{i \frac{ \pi }{3} } \ ; \ e ^{i \frac{ -\pi }{3} }}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę
Można dużo prościej, choć wymaga to znajomości odrobiny algebry abstrakcyjnej. Aby wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ P : Q}\), wystarczy znaleźć reprezentanta warstwy \(\displaystyle{ P + (Q)}\) w pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \RR[x] / (Q)}\), który jest stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\). Ale w tym pierścieniu mamy \(\displaystyle{ x^3 = -1}\), czyli
\(\displaystyle{ P(x) = x^{30} + 3x^{14} + 2 = (x^3)^{10} + 3 (x^3)^4 \cdot x^2 + 2 = (-1)^{10} + 3 (-1)^4 \cdot x^2 + 2 = 3x^2 + 3}\),
a więc \(\displaystyle{ R(x) = 3x^2 + 3}\) jest szukanym reprezentantem, czyli resztą z dzielenia.
\(\displaystyle{ P(x) = x^{30} + 3x^{14} + 2 = (x^3)^{10} + 3 (x^3)^4 \cdot x^2 + 2 = (-1)^{10} + 3 (-1)^4 \cdot x^2 + 2 = 3x^2 + 3}\),
a więc \(\displaystyle{ R(x) = 3x^2 + 3}\) jest szukanym reprezentantem, czyli resztą z dzielenia.