Iloczyn wektorowy i mieszany - Levi Civita

[patrykoz]

Dzień dobry,
mam do was pytanie. Jak można bardziej rozpisać iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{A} \times \vec{B}}\) niż:\(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk} A_{j} \cdot B_{k}}\) ? Nie mogę chyba skorzystać z własności z deltami (bo brakuje mi drugiego epsilonu - chyba że ten epsilon mam "dodać" rozpisując K-tą składową).

Oraz drugi problem: Jak udowodnić że \(\displaystyle{ A \cdot \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \cdot \vec{A} \times \vec{B}}\) za pomocą właśnie symbolu Leviego-CIvity?

EDIT;Przez przypadek umieściłem w złym dziale, proszę o przeniesienie.
EDIT2:Poprawiłem literówkę z indeksem przy sumowaniu.

[SidCom]

Zobacz ten temat
wyjaśniam tam inną tożsamość ale jak pojmiesz to udowodnisz bądź obalisz swój wzorek

PS. brak konsekwencji w zapisie u Ciebie

[Janusz Tracz]

Jak można bardziej rozpisać iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{A} \times \vec{B}}\) niż \(\displaystyle{ \varepsilon _{iijk} A_{j} \cdot B_{k}}\)?

Owszem brakuje Ci tensora by to jeszcze rozpisywać (za pomocą \(\displaystyle{ \delt}\)) taki zapis już jest wystarczający tylko nie dawał bym podwójnego indeksu \(\displaystyle{ i}\) (bo to wprowadza błędy odnośnie konwencji sumowania po podwojonym składniku) więc zapisał bym to tak (nie będę pisał strzałek wektorów bo wynika to z kontekstu):

\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{{\red{i}}}=\varepsilon _{{\red {i}}jk} a_{j} b_{k}}\)

indeks \(\displaystyle{ i}\) odpowiada \(\displaystyle{ i}\)-tej składowej działania w nawiasach tu będzie to iloczyn wektory a pozostałe indeksy odpowiadają już bezpośrednio składowym wektora \(\displaystyle{ A.B}\). Można to oczywiście rozpisać dalej wykorzystując wszystkie permutacje \(\displaystyle{ \left( i,j,k\right)}\) i będzie to mniej więcej coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{{\red{i}}}=\varepsilon _{i23} a_{2} b_{3}+\varepsilon _{i32} a_{3} b_{2}+\varepsilon _{i31} a_{3} b_{1}+\varepsilon _{i13} a_{1} b_{3}+\varepsilon _{i21} a_{2} b_{1}+\varepsilon _{i12} a_{1}b_{2}}\)

Jest to konsekwencja konwencji sumacyjnej po podwojonym wskaźniku. A ponieważ \(\displaystyle{ A \times B=\left[ \left[ A \times B\right]_{1} , \left[ A \times B\right]_{2} , \left[ A \times B\right]_{3}\right]}\) to do ogólnego wzoru trzeba podstawić odpowiednio \(\displaystyle{ i=1,2,3}\) pamiętając przy tym że powielenie wskaźnika w tensorze Levi Civita zeruje go! To daje:

\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{1}=\varepsilon _{123} a_{2} b_{3}+\varepsilon _{132} a_{3} b_{2}= a_{2} b_{3}-a_3b_2+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)

\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{2}=\varepsilon _{231} a_{3} b_{1}+\varepsilon _{213} a_{1} b_{3}= a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)

\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{3}=\varepsilon _{321} a_{2} b_{1}+\varepsilon _{312} a_{1}b_{2}=a_{1}b_{2}-a_{2} b_{1}+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)

takim sposobem wyprowadziłem wzór na iloczyn wektorowy za pomocą zwężania tensora Levi Civita.

Oraz drugi problem: Jak udowodnić że \(\displaystyle{ A \cdot \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \cdot \vec{A} \times \vec{B}}\) za pomocą właśnie symbolu Leviego-CIvity?

Widzę że już dostałeś odpowiedź więc nie będę się rozpisywać ale warto tu zauważyć że nie będie Ci tu potrzeba znajomość zależności tensora Levi Civita a \(\displaystyle{ \delta}\). Bo wystarczy że powołamy się na cykliczność \(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{jki}=\varepsilon _{kij} \ \ \left( \clubsuit\right)}\) pozwala to zapisać:

\(\displaystyle{ \bullet}\)

\(\displaystyle{ \left[ A \circ \left( B \times C\right) \right]_i=a_i\left[ B \times C\right]_i=a_i\varepsilon _{ijk}b_jc_k=\varepsilon _{ijk}a_ib_jc_k}\)

a następnie zmieniając cyklicznie \(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk}}\) odwołanie do \(\displaystyle{ \left( \clubsuit\right)}\) zapisać że jest to:

\(\displaystyle{ \left[ A\circ \left( B \times C\right) \right]_i=\varepsilon _{ijk}a_ib_jc_k=\varepsilon _{kij}a_ib_jc_k=c_k\varepsilon _{kij}a_ib_j=\left[ C\circ \left( A \times B\right) \right]_i}\)

Ponieważ dowód jest przeprowadzony dla dowolnego \(\displaystyle{ i}\) to jest on dowodem tezy. Co kończy dowód.