Grupy, pierścienie, ciała - przykłady

[tdudzik]

Potrzebuję po ok. dwa przykłady (albo chociaż po jednym) różnego rodzaju grup, pierścieni, ciał, itp. Kilka już udało samemu mi się znaleźć / wymyślić (bardzo proszę też o sprawdzaniego tego co mam)
- półgrupa: \(\displaystyle{ (\mathbb{N^*}, +), (\mathbb{Q^*}, +)}\)
- monoid: \(\displaystyle{ (\mathbb{N}, +), (\mathbb{N}, \cdot)}\)
- grupa: \(\displaystyle{ (M_{m,n}(F), \cdot)}\) (?)
- grupa abelowa: \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, \cdot), (\mathbb{Z}, +), (M_{m,n}(F), +)}\)
- pierścień:
- pierścień trywialny: \(\displaystyle{ (\left\{0\right\}, +, \cdot), (\left\{1\right\}, +, \cdot)}\)
- pierścień z jedynką: \(\displaystyle{ (M_{n,n}(F), +, \cdot), n \ge 2}\)
- pierścień przemienny: \(\displaystyle{ (2\mathbb{Z}, +, \cdot)}\)
- pierścień z dzieleniem: \(\displaystyle{ (\mathbb{H}, +, \cdot)}\)
- pierścień przemienny z jedynką: \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}, +, \cdot)}\)
- pierścień przemienny z dzieleniem
- ciało: \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, +, \cdot), (\mathbb{R}, +, \cdot), (\mathbb{C}, +, \cdot)}\)

[Janusz Tracz]

O grupie macierzy z mnożeniem trzeba zrobić założenie że są to macierze nieosobliwe tj. komentarz odnoście \(\displaystyle{ (M_{m,n}(F), \cdot)}\). Można też tę grupę zawężać do macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 1}\). Inną (ciekawą) grupą jaka mi przychodzi do głowy to okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem.

[a4karo]

W zbiorze macierzy \(\displaystyle{ m\times n}\) nie da się wykonać mnożenia gdy \(\displaystyle{ m\neq n}\)

[Janusz Tracz]

Tak. Założenie o tym żeby były to kwadratowe macierze też się przyda.

[karolex123]

Trochę nie rozumiem napisu \(\displaystyle{ (\mathbb{N^*}, +)}\)
z jednej strony ta gwiazdka ma oznaczać mnożenie (?), a z drugiej strony bierzesz działanie dodawania
podobnie z \(\displaystyle{ (\mathbb{Q^*}, +)}\)

Do przykładów grup możesz dorzucić np. grupę izometrii własnych n- kąta foremnego, grupę obrotów w \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\), cykliczną grupę pierwiastków n- tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\)

napisałeś, że \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, \cdot)}\) jest grupą abelową, co prawdą nie jest, bo \(\displaystyle{ 0 \in \mathbb Q}\) (powinieneś wyrzucić zero)

Przykłady pierścieni: pierścień liczb całkowitych \(\displaystyle{ \mathbb Z}\), pierścień wielomianów

[tdudzik]

Gwiazdka oznacza "bez zera", rzeczywiście powinienem był to napisać od razu.

Co do pierścienia liczb całkowitych, to jest on pierścieniem przemiennym z jedynką, prawda? Szukam przykładu który nie ma jedynki ani nie jest przemienny.

Co do grupy abelowej to racja. Rozumiem, że teraz łamiemy warunek z istnieniem elementu odwrotnego (dla zera).-- 3 lis 2018, o 19:06 --Czyli podsumowując. Teraz jest ok?
- półgrupa: \(\displaystyle{ (\mathbb{N^*}, +), (\mathbb{Q^*}, +)}\)
- monoid: \(\displaystyle{ (\mathbb{N}, +), (\mathbb{N}, \cdot)}\)
- grupa: \(\displaystyle{ (M_{n,n}(F), \cdot), detM \neq 0}\)
- grupa abelowa: \(\displaystyle{ (\mathbb{Q^*}, \cdot), (\mathbb{Z}, +), (M_{m,n}(F), +)}\)
- pierścień: \(\displaystyle{ (M_{n,n}(F), +, \cdot), n \ge 2, M \neq I_n}\)
- pierścień trywialny: \(\displaystyle{ (\left\{0\right\}, +, \cdot), (\left\{1\right\}, +, \cdot)}\)
- pierścień z jedynką: \(\displaystyle{ (M_{n,n}(F), +, \cdot), n \ge 2}\)
- pierścień przemienny: \(\displaystyle{ (2\mathbb{Z}, +, \cdot)}\)
- pierścień z dzieleniem: \(\displaystyle{ (\mathbb{H}, +, \cdot)}\)
- pierścień przemienny z jedynką: \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}, +, \cdot)}\)
- pierścień przemienny z dzieleniem
- ciało: \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, +, \cdot), (\mathbb{R}, +, \cdot), (\mathbb{C}, +, \cdot)}\)

[karolex123]

Napisałeś, że zbiór macierzy bez identyczności, z dodawaniem i mnożeniem tworzy pierścień, co jest nieprawdą, bo taki zbiór z dodawaniem nie tworzy nawet grupy (w ogólnym przypadku)