Uzasadnić równości

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Uzasadnić równości

Post autor: Rafsaf »

Mam uzasadnić dość trywialne równości, jest ich wiele, podam 3 przykładowe:
a) \(\displaystyle{ M(N+P)=MN+MP}\)
b) \(\displaystyle{ \det(M ^{-1} NM)=\det(N)}\)
c) \(\displaystyle{ tr(M)+tr(N)=tr(M+N)}\)

gdzie \(\displaystyle{ M,N,P}\) są macierzami(dodam że \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) żeby uniknąć niejasności).

I teraz pytanie, czy to się uzasadnia jakoś "szybko", bo bezpośrednim rachunkiem z pewnością wszystko wyjdzie, ale nie jestem pewien czy o to chodzi(a nie umiem jakoś inaczej).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Uzasadnić równości

Post autor: janusz47 »

1.
Z własność rozdzielności mnożenia macierzy względem dodawania jako przestrzeni liniowej macierzy nad ciałem \(\displaystyle{ K.}\)

2.
Z własności wyznacznika iloczynu macierzy i macierzy odwrotnej:

\(\displaystyle{ \det( M^{-1}N M) = \frac{1}{\det(M)}\cdot \det(N) \cdot \det(M) = \det(N).}\)

3.
Z własności addytywności śladu macierzy - wynikającej z definicji sumy i śladu macierzy.
Ostatnio zmieniony 29 paź 2018, o 00:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Uzasadnić równości

Post autor: karolex123 »

Można te równości uzasadnić bezpośrednim rachunkiem i to szybko. Nawet dla dowolnych macierzy kwadratowych wymiarów \(\displaystyle{ n \times n}\) jest to łatwe
niech \(\displaystyle{ M=\left( m_{ij}\right)}\), \(\displaystyle{ N=\left( n_{ij}\right)}\) i \(\displaystyle{ P=\left( p_{ij}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i, j \le n}\)
1) Macierz po lewej stronie tej równości ma w \(\displaystyle{ i}\)-tym wireszu i \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie wyraz:
\(\displaystyle{ \left( m_{i1}, m_{i2},..., m_{in}\right) \cdot \left( \left( n_{1j}, n_{2j},..., n_{2j}\right)+\left( p_{1j}, p_{2j}, ..., p_{nj} \right) \right)=\left( m_{i1}, m_{i2},..., m_{in}\right) \cdot \left( n_{1j}+p_{1j}, n_{2j}+p_{2j},...., n_{nj}+p_{nj} \right)= \sum_{k=1}^{n}m_{ik} \left( n_{kj}+p_{kj}\right)= \sum_{k=1}^{n} \left( m_{ik} n_{kj} + m_{ik} p_{kj}\right)= \sum_{k=1}^{n} m_{ik} n_{kj} + \sum_{k=1}^{n} m_{ik} n_{kj}}\) no i to co otrzymaliśmy jest oczywiście wyrazem w \(\displaystyle{ i}\)-tym wierszu i \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie macierzy po prawej stronie równości, co tym samym kończy dowód
generalnie dowód działa dla macierzy nad pierścieniami (dlaczego?)
oczywiście \(\displaystyle{ \cdot}\) oznacza tu standardowy iloczyn skalarny
2) Jeśli wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ \det}\) określona na zbiorze macierzy wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\) jest multiplikatywna, czyli \(\displaystyle{ \det(AB)=\det(A) \det(B)}\), dla dowolnych macierzy \(\displaystyle{ A, B}\), to natychmiast dostaniemy \(\displaystyle{ \det(M^{-1}NM)=\det(M^{-1}) \det(N) \det(M)= \det(M)^{-1} \det(M) \det(N)=\det(N)}\)
3) Rachunek jest dosłownie jednolinijkowy
ODPOWIEDZ