Macierz odwrotna do macierzy trójkątnej

[cis123]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą trójkątną górną (dolną), to macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) też jest trójkątna górna (dolna)


Ma ktoś pomysł jak to zrobić? Próbowałem doprowadzić rozszerzoną macierz \(\displaystyle{ [A | I]}\) do \(\displaystyle{ [I | B]}\), ale nie miałem za bardzo pomysłu od czego zacząć

[Benny01]

Spróbuj rozpisać sobie elementy macierzy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) korzystający z dopełnień algebraicznych.

[janusz47]

Pierwszy sposób (eliminacje Gaussa-Jordana)

Załóżmy, że macierz \(\displaystyle{ U}\) jest macierzą trójkątną górną- odwracalną. Istnieje ciąg macierzy operacji elementarnych górno-trójkątnych \(\displaystyle{ E_{i}}\) na wierszach macierzy \(\displaystyle{ U,}\) przekształcających macierz \(\displaystyle{ U}\) na macierz jednostkową \(\displaystyle{ I :}\)

\(\displaystyle{ E_{n}E_{n-1}...E_{2}E_{1}U =I}\)

Stąd

\(\displaystyle{ U^{-1} = E_{n}E_{n-1}...E_{2}E_{1}}\)

Po prawej stronie występuje iloczyn \(\displaystyle{ n}\) macierzy trójkątnych górnych, który jest macierzą trójkątną górną (indukcja względem \(\displaystyle{ n, \ \ n\geq 2).}\)
c.b.d.o.

Drugi sposób

Każdą macierz trójkątną górną - nieosobliwą, można przedstawić w postaci iloczynu macierzy:

\(\displaystyle{ U = D(I + N)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ D}\) - macierz diagonalna zawierająca diagonalę macierzy \(\displaystyle{ U}\)

\(\displaystyle{ I}\) - macierz jednostkowa

\(\displaystyle{ N}\) - macierz trójkątna górna z zerami na głównej przekątnej.

Stąd

\(\displaystyle{ U^{-1} = (I +N)^{-1}D^{-1}}\)

\(\displaystyle{ (I+N)^{-1} = I - N +N^2 -....+(-1)^{n-1}N^{n-1}, \ \ N^{n} =0}\)

Macierze \(\displaystyle{ D^{-1}, \ \ (I +N)^{-1}}\) są macierzami trójkątnymi górnymi, więc ich iloczyn jest macierzą trójkątną górną.
c.d.d.o.