Sprawdzić czy jest sumą prostą

[MariuszWypler]

W zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_{6}}\) wyróżniamy dwa podzbiory: \(\displaystyle{ U=\{0,2,4\}}\) oraz \(\displaystyle{ W=\{0,3\}}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ U}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \ZZ_{3}}\) i \(\displaystyle{ W}\) jest przestrzenią liniową na ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_2, \ZZ_{6}=U+W, U \cap W=\{0\}}\). Czy \(\displaystyle{ \ZZ_6}\) jest sumą prostą przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\)?
Chodzi mi głównie o ostanie pytanie.

[karolex123]

A wiesz co oznacza, że \(\displaystyle{ \mathbb Z_6}\) jest sumą prostą przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\)? Mam też pytanie: przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) jest nad \(\displaystyle{ \mathbb Z _3}\), zaś \(\displaystyle{ W}\)- nad \(\displaystyle{ \mathbb Z _2}\). Nad jakim ciałem ma być przestrzeń \(\displaystyle{ U+W}\)?

[MariuszWypler]

Definicję sumy prostej znam, a nad jakim ciałem ma być przestrzeń \(\displaystyle{ U+W}\) to tego nie wiem. Zadanie przepisałem w takiej postaci w jakiej dostałem.

[karolex123]

Rozumiem, prawdę mówiąc nie spotkałem się z czymś takim; klasycznie mówi się o sumie prostej podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\), \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb K}\); tutaj nawet nie wiadomo jakiej przestrzeni liniowej są to podprzestrzenie, a przede wszystkim nad jakim ciałem. Nie mówię już o zewnętrznej sumie prostej przestrzeni liniowych, od których wymaga się, by było nad tym samym ciałem.

To jaka jest ta definicja sumy prostej, którą znasz?

[MariuszWypler]

Tutaj skorzystałbym z takiej postaci:
\(\displaystyle{ V=W_1\oplus W_2\Leftrightarrow \begin{cases} V=W_1+W_2\\W_1 \cap W_2=\{\theta\} \end{cases}}\)

[karolex123]

Tutaj skorzystałbym z takiej postaci:
\(\displaystyle{ V=W_1\oplus W_2\Leftrightarrow \begin{cases} V=W_1+W_2\\W_1 \cap W_2=\{\theta\} \end{cases}}\)

No definicja wymaga słowa komentarza jednak; trzeba założyć, że \(\displaystyle{ W_1}\), \(\displaystyle{ W_2}\) są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb K}\), przy czym \(\displaystyle{ W_1}\), \(\displaystyle{ W_2}\) też muszą być nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb K}\)-- 15 paź 2018, o 23:33 --Chodzi mi o to, że nie możemy sobie sumować dowolnie, losowo wybranych przestrzeni liniowych; muszą być one przynajmniej nad tym samym ciałem skalarów, a w kwestii mniej ogólnej, tj. sumie prostej podprzestrzeni wymagamy, by były one podprzestrzeniami tej samej przestrzeni liniowej nad danym ciałem