Norma macierzowa

[Gotek]

Mam wzór na normę macierzy
\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right| = \left\{ \frac{\left| \left| Ax\right| \right| }{\left| \left| x\right| \right| }: x \in \mathbb{R} ^{\mathbb{N}} , x \neq 0\right\}}\)
i mam obliczyć macierz
\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{array}
\right]
\qquad}\)
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak to zrobić?

[karolex123]

Mam wzór na normę macierzy
\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right| = \left\{ \frac{\left| \left| Ax\right| \right| }{\left| \left| x\right| \right| } \right\: x \in \mathbb{R} ^{\mathbb{N}} , x \neq 0}}\)

To nie jest wzór na normę macierzową. Raczej chodzi o \(\displaystyle{ \sup \left\{ \frac{\left| \left| Ax \right| \right| }{\left| \left| x\right| \right|} : x \in \mathbb R^n, x \neq 0 \right\}}\).

Wskazówka: macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna, więc z twierdzenia spektralnego istnieje baza ortonormalna, w której macierz ta jest diagonalna. Warto interpretować normę macierzową jako długość najdłuższej z półosi elipsoidy, która jest obrazem jednostkowej kuli domkniętej w \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\) względem operatora \(\displaystyle{ A}\)