Cześć, mam problem z zadaniem.
Zastosuj eliminacje Gaussa do rozwiązania następującego układu równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 3\\ x_1 - x_2 + x_3 = 1\\ -x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{cases}.}\)
W tym zadaniu zamiast \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy jedynki (1x1) itd, a później liczymy Gaussem?
Mógłby ktoś rozwiązać i wytłumaczyć?
Rozwiąż układ równań eliminacją Gaussa
-
stehaw
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 13 gru 2016, o 14:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroclaw
- Podziękował: 1 raz
Rozwiąż układ równań eliminacją Gaussa
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2018, o 18:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Rozwiąż układ równań eliminacją Gaussa
Macierz rozszerzona układu równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\1&-1&1&1\\ -1&1&1&1 \end{matrix}\right]}\)
Eliminacja "wprzód" metody Gaussa:
\(\displaystyle{ w_{i}}\) - wiersz o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ w_{2} +(-1)\cdot w_{1}, \ \ w_{3} +w_{1}:}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\0&-2&2&-2\\ 0&2&0&4 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}+ w_{2}:}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\0&-2&2&-2\\ 0&0&2&2 \end{matrix}\right]}\) (m)
Macierz (m) jest w postaci schodkowej.
Z ostatniego wiersza tej macierzy:
\(\displaystyle{ 2x_{3} = 2, \ \ x_{3}=1.}\) (*)
Z przedostatniego wiersza macierzy równości (*):
\(\displaystyle{ -2x_{2} +2x_{3}= -2, \ \ -2x_{2} + 2\cdot 1 = -2, \ \ -2x_{2}= -4, \ \ x_{2}= 2.}\) (**)
Z pierwszego wiersza macierzy i równości (*) (**):
\(\displaystyle{ x_{1} +x_{2}-x_{3} = 3, \ \ x_{1} + 2 -1 = 3, \ \ x_{1} =2.}\)
Rozwiązaniem układu równań jest wektor:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right].}\)
Uwaga
Na macierzy (m) możemy wykonać eliminację "w tył" - dochodząc do postaci schodkowej-zredukowanej macierzy, z której odczytujemy współrzędne wektora rozwiązań.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\1&-1&1&1\\ -1&1&1&1 \end{matrix}\right]}\)
Eliminacja "wprzód" metody Gaussa:
\(\displaystyle{ w_{i}}\) - wiersz o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ w_{2} +(-1)\cdot w_{1}, \ \ w_{3} +w_{1}:}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\0&-2&2&-2\\ 0&2&0&4 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}+ w_{2}:}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&1&-1&3\\0&-2&2&-2\\ 0&0&2&2 \end{matrix}\right]}\) (m)
Macierz (m) jest w postaci schodkowej.
Z ostatniego wiersza tej macierzy:
\(\displaystyle{ 2x_{3} = 2, \ \ x_{3}=1.}\) (*)
Z przedostatniego wiersza macierzy równości (*):
\(\displaystyle{ -2x_{2} +2x_{3}= -2, \ \ -2x_{2} + 2\cdot 1 = -2, \ \ -2x_{2}= -4, \ \ x_{2}= 2.}\) (**)
Z pierwszego wiersza macierzy i równości (*) (**):
\(\displaystyle{ x_{1} +x_{2}-x_{3} = 3, \ \ x_{1} + 2 -1 = 3, \ \ x_{1} =2.}\)
Rozwiązaniem układu równań jest wektor:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right].}\)
Uwaga
Na macierzy (m) możemy wykonać eliminację "w tył" - dochodząc do postaci schodkowej-zredukowanej macierzy, z której odczytujemy współrzędne wektora rozwiązań.