Równanie liniowe, metoda Cramera

[lazu88]

Witam wszystkich.
Miałem styczność z macierzami lata lata temu, rozumiem rozwiązywanie metodą Sarrusa dla macierzy 3x3. Niestety muszę rozwiązać zadanie metodą Cramera macierz 4x4 i tu pojawiły się schody. Wiem, że należy wyliczyć wyznaczniki dla macierzy głównej oraz potem dla macierzy z zastąpionymi kolumnami wyrazami wolnymi dla każdej niewiadomej. Bardzo proszę o rozwiązanie zadania (bardziej mi zależy na wytłumaczeniu krok po kroku co należy zrobić). Oto równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z + t = 5\\ x + y+ z + t = -1\\ x - 2y +z + t = 2\\ x + z = 3
\end{cases} \left\{ \right\}}\)

Wiem, że z tego tworzymy macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&1&\red 5\\1&1&1&1&\red -1\\1&-2&1&1&\red 2\\1&0&1&0&\red 3
\end{bmatrix}}\)
zgodnie z metodą Cramera muszę policzyć wyznaczniki dla macierzy
\(\displaystyle{ W = \begin{bmatrix} 2&1&-1&1\\1&1&1&1\\1&-2&1&1\\1&0&1&0
\end{bmatrix}}\)
a następnie Wx Wy Wz i Wt

\(\displaystyle{ Wx=\begin{bmatrix} \red 5&1&-1&1\\\red -1&1&1&1\\\red 2&-2&1&1\\\red 3&0&1&0
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ Wy= \begin{bmatrix} 2&\red 5&-1&1\\1&\red -1&1&1\\1&\red 2&1&1\\1&\red 3&1&0
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ Wz= \begin{bmatrix} 2&1&\red 5&1\\1&1&\red -1&1\\1&-2&\red 2&1\\1&0&\red 3&0
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ Wt= \begin{bmatrix} 2&1&-1&\red 5\\1&1&1&\red -1\\1&1&1&\red 2\\1&0&1&\red 3
\end{bmatrix}}\)

I tutaj mam ogólnie problem z wyliczeniem tych wyznaczników, nie wiem gdzie robię błąd ale już robiłem to n razy i nie wychodzi. Wyznacznik główny wychodzi mi raz 9 raz 15 raz 16 i nawet raz 14, obojętnie jaki mi wyjdzie to przy kolejnych wyznacznikach też muszę robić błędy bo przy sprawdzeniu nic mi nie wychodzi. Najczęściej wy i wz wychodzi mi 16 lub 18, a wt= 30; 32; itd.

Pozdrawiam i z góry dziękuję za każdą wskazówkę.

Ps. (filmiki od etrapez mi nie pomogły)

[Dilectus]

I tutaj mam ogólnie problem z wyliczeniem tych wyznaczników, nie wiem gdzie robię błąd ale już robiłem to n razy i nie wychodzi.

Ja miałem podobny problem z wyznacznikami, a to dlatego, że ostatnie moje rozwiązywanie układu równań liniowych miało miejsce czterdzieści lat temu...
W przypływie rozpaczy posłużyłem się Excelem, który liczy wyznaczniki bezbłędnie, ma bowiem funkcję "wyznacznik macierzy".
Spróbuj. -- 25 wrz 2018, o 09:53 --Policzyłem te wyznaczniki w Excelu. Oto one:

\(\displaystyle{ W=9}\)

\(\displaystyle{ W_x=-21}\)

\(\displaystyle{ W_y=18}\)

\(\displaystyle{ W_z=48}\)

\(\displaystyle{ W_t=27}\)

[kacperus]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z + t = 5\\ x + y+ z + t = -1\\ x - 2y +z + t = 2\\ x + z = 3
\end{cases} \left\{ \right\}}\)

zgodnie z metodą Cramera muszę policzyć wyznaczniki dla macierzy
\(\displaystyle{ W = \begin{bmatrix} 2&1&-1&1\\1&1&1&-2\\1&-2&1&1\\1&0&1&0
\end{bmatrix}}\)

do metody cramera najlepiej wybierać kolumnę lub wiersz w których jest najwiecej \(\displaystyle{ 0}\) wtedy szybko to wychodzi:

od kolumny 3 odejmuje kolumnę 1:
\(\displaystyle{ W = \begin{bmatrix} 2&1&-3&1\\1&1&0&-2\\1&-2&0&1\\1&0&0&0
\end{bmatrix}}\)

teraz w 3 kolumnie zostało tylko \(\displaystyle{ -3}\):
skreślasz wiersz i kolumnie w ktorym jest \(\displaystyle{ -3}\) i zostaje ci macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\):

\(\displaystyle{ -3 \cdot (-1)^4 \cdot \begin{bmatrix} 1&1&-2\\1&-2&1\\1&0&0
\end{bmatrix}}\)

to: \(\displaystyle{ -1^4}\) wzięło się z jakiegoś wzoru: \(\displaystyle{ -3}\) stoi w \(\displaystyle{ 3}\) kolumnie i \(\displaystyle{ 1}\) wierszu to daje \(\displaystyle{ 4}\)

tutaj juz mozesz obliczyć sarusem do konca wyznacznik.

[lazu88]

Dilectus, tu nie chodzi o podanie mi końcowego wyniku, bo wpisując do programu typu Mathlab Mathcad też mi to liczy, nie pomyślałem o excelu. Potrzebuje rozwiązania krok po kroku aby móc rozwiązać to ręcznie. Nie wiem czemu ale nawet jak wprowadziłem do excela czy mi też "dobrze liczy i mam zupełnie inne wartości
\(\displaystyle{ W=9; W_x=9; W_y=18; W_z=18; W_t=27}\), tutaj też nie wiem gdzie leży błąd w obliczaniu. Nie mniej ani moje wartości ani wartości przez Pana podane nie rozwiązują tego równania.

Pozdrawiam

[Gamma]

W macierzy \(\displaystyle{ W}\) wyraz \(\displaystyle{ w_{24}}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a nie jak masz wpisane \(\displaystyle{ - 2}\). Może stąd błędy.

W kwestii formalnej skoro przez \(\displaystyle{ W}\) oznaczasz macierz to jej wyznacznik oznacza się przez \(\displaystyle{ \det (W)}\). Czyli np. Jeżeli wyznacznk macierzy \(\displaystyle{ W}\) jest równy \(\displaystyle{ 9}\) to piszemy \(\displaystyle{ \det(W) =9}\), a nie \(\displaystyle{ W=9}\).
Podejrzewam, że chciałeś użyć notacji z prostymi nawiasami, zamiast kwadratowych, bo przyjmuje się oznaczenie:
\(\displaystyle{ \det\left[\begin{array} {cc} 1&2\\3&4\end{array}\right]=\left|\begin{array} {cc} 1&2\\3&4\end{array}\right|}\). Czasem detale potrafią zrobić różnicę.

[lazu88]

Ogólnie udało mi się to jakoś zrozumieć, zajęło mi to mnóstwo czasu, ale najważniejsze, że wyniki się zgadzają. Błąd tkwił w szczegółach czyli źle przeniesione liczby, znikające minusy itd.. Prawdopodobnie kolejnym błędem było redukcja wyrazów wykonując operację na wierszach i kolumnach równocześnie.
Ogólnie temat można uznać za zamknięty. Dziękuje wszystkim za odpowiedzi. Pozdrawiam

Ps.
dodatkowo zrobiłem błąd przepisując zadanie z kartki, niestety zapis w języku LaTex jest dla mnie uciążliwy i stąd pojawiły się błędy już przy samym przepisaniu, a potem już metodą lawinową rzutowało na resztę wyników.