Układy z trzema niewiadomymi

[karla_m]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z = 30 \\5x - y - z = 0\\ x^2 - y = z \end{cases}}\)

Czy ktoś może mi wytłumaczyć krok po kroku rozwiązanie tego zadania? W wolframie wychodzi \(\displaystyle{ x = 5}\) i \(\displaystyle{ z= 25 - y}\). O ile pierwsza niewiadoma podobno się zgadza tak pozostałe dwie nadal pozostają dla mnie zagadką.

[Gamma]

Wykorzystamy metodę podstawiania. Z drugiego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z=5x-y}\).
Teraz wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x+y+5x-y=6x=30}\), czyli \(\displaystyle{ x=5}\).
Zatem dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
z=5\cdot 5-y\\
5^2-y=z
\end{array}\right.}\)
A tu łatwo zauważyć, że te dwa równania są w zasadzie tym samym równaniem, więc "o jednym z nich możemy zapomnieć", zatem rozwiązaniem wyjściowego układu jest:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x=5\\
z=25-y\\
y\in \mathbb{R},\quad \text{tak zakładam, że chodzi Ci o rozwiązanie w liczbach rzeczywistych}
\end{array}
\right.}\)
W tym rozwiązaniu \(\displaystyle{ y}\) traktujemy jako parametr, ponieważ układ równań jest nieoznaczony, więc ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[karla_m]

Dziękuję za ekspresową odpowiedź.