Opisz macierzowo nałożenie rzutu ortogonalnego

[BigPaws]

Przed nowym semestrem nadrabiam sobie zaległości, które mi się teraz przydzadzą i poległem na takim zadaniu:

Opisz macierzowo nałożenie rzutu ortogonalnego na oś OY na obrót o kąt \(\displaystyle{ \pi / 4}\) wokół początku układu współrzędnych.

Przyznam szczerze, że nawet nie wiem od czego zacząć, nie bardzo wiem co tu się dzieje. Macierze miałem jakiś czas temu, ale tego typu zadania na pewno nie było. Prosze o wskazówki.

[Dasio11]

Przyznam szczerze, że nawet nie wiem od czego zacząć, nie bardzo wiem co tu się dzieje.

Od napisania macierzy przekształceń wspomnianych w treści zadania, potem wystarczy je pomnożyć.

[BigPaws]

Nie mam nawet pojęcia jak stąd jakiekolwiek macierze wziąć

[Dasio11]

A wiesz, co to jest rzut ortogonalny na oś OY? Potrafiłbyś napisać wzór? Dla ułatwienia możesz posłużyć się rysunkiem.

I czy wiesz, jakie przekształcenie \(\displaystyle{ F : \RR^2 \to \RR^2}\) reprezentuje macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są liczbami rzeczywistymi?

[BigPaws]

Jedyne co mi przychodzi do głowy to byłoby jak rzucanie punktu na prostą, oś OY taką jest.

Moim problemem z tym zadaniem jest, że mam wrażenie, że brakuje mi danych. Nie wiem co mam zrzutować, pojawiają się jakieś kąty, macierze.

[Dasio11]

Nie mieliście podane na wykładzie, czym jest rzut ortogonalny na prostą?

W zadaniu opisane są dwa przekształcenia \(\displaystyle{ \RR^2 \to \RR^2}\). Ale opisane są nie wzorem, tylko słowami. To są Twoje dane.

Szukana jest macierz przekształcenia będącego złożeniem dwóch powyższych przekształceń. To znaczy - nie masz przekształcać żadnego konkretnego punktu, tylko podać przepis (w formie macierzy), jak takie przekształcenie wykonać na dowolnym punkcie.

Jeśli masz problem ze znalezieniem wzoru dla rzutu ortogonalnego na oś OY, to (dowiedziawszy się, czym on jest) spróbuj znaleźć rzuty kilku konkretnych punktów, np.: \(\displaystyle{ (3, 5), (6, 2), (-4, 3), (9, -\pi)}\), a następnie uogólnij, żeby znaleźć rzut dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\).

[BigPaws]

Poległem, zostawiłem sobie ten typ zadania na koniec, rozgryzłem wszystkie inne tego nie potrafię, za dużo abstrakcji dla mnie.

Umiem zrobić rzut wektora na kierunek, zakładam, że na punkt też jest wzór, akurat mi nie był potrzebny.
Ale dochodzą mi tu jeszcze te macierze, jakiś kąt i może już zmęczenie nie pozwala mi wspiąć się na wyżyny intelektu.

Jestem zmuszony błagać o rozpisanie

[karolex123]

Po kolei. Niech \(\displaystyle{ A: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2}\) oznacza rzut ortogonalny na oś y. Oczywiście \(\displaystyle{ A}\) jest odwzorowaniem liniowym, patrzymy na obrazy wektorów bazowych. Czy jesteś w stanie wyznaczyć \(\displaystyle{ A(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ A(0,1)}\)?

[BigPaws]

Chodzi o wektor \(\displaystyle{ [-1,1]}\)?

[Jan Kraszewski]

Chyba nie zrozumiałeś pytania: karolex123 pytał się o obrazy dwóch wektorów w rzucie prostokątnym na oś \(\displaystyle{ y}\), czyli o dwa wektory, z których można zbudować szukaną macierz rzutu.

Ty zaś podałeś tylko jeden wektor, który w dodatku nie ma nic wspólnego z tymi, o które byłeś pytany. Czy Ty w ogóle wiesz, czym jest rzut prostokątny na oś \(\displaystyle{ y}\) ? Umiesz go narysować?

JK