Operacja liniowa (algebra tensorowa)

[kyzio]

Siemanko, mam takie zadania:

Sprawdzić, czy operacja \(\displaystyle{ A(x)=-2x}\) jest operacją liniową. Wyznaczyć i narysować wektor \(\displaystyle{ a=2e _{1} +e_{2}}\) i jego obraz.

Co do operacji liniowej to znam definicje kiedy operacja jest liniowa, ale na wykladzie mielismy tylko 2przyklady i wektory skladaly sie z 2liczb i nie bardzo wiem czy dobrze w takim wypadku to rozumiem. Wychodzi mi z definicji ze operacja jest liniowa.

Co do drugiej czesci zadania to nie mam bladego pojecia jak je ruszyc :/

[janusz47]

W tym zadaniu wektor:

\(\displaystyle{ \vec{a} = 2 \left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix}0\\ 1 \end{matrix}\right]}\)

składa się z dwóch wektorów bazy kanonicznej \(\displaystyle{ \RR^2.}\)

Czy potrafisz narysować ten wektor w prostokątnym układzie współrzędnych \(\displaystyle{ \RR^2?}\)

Jak go poddamy operacji liniowej \(\displaystyle{ A(\vec{a}),}\) to obraz jakiego wektora otrzymamy?

[Janusz Tracz]

Tylko czegoś tu nie rozumiem skoro \(\displaystyle{ A(x)}\) jest odwzorowaniem zadanym wzorem \(\displaystyle{ A(x)=-2x}\) to choć jest to odwzorowanie liniowe to jest ono z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\). Więc jak \(\displaystyle{ A(x)}\) ma przyjąć za argument element z \(\displaystyle{ \RR^2}\) ?

[AiDi]

A kto powiedział, że \(\displaystyle{ x}\) ma tu oznaczać element \(\displaystyle{ \RR}\)? Ja się bardziej zastanawiam co do tego ma algebra tensorowa.

[Janusz Tracz]

W sumie to nikt... głupia pomyłka, bardzo dziękuję za wyjaśnienie. Zadanie ma więc sens i polega na
\(\displaystyle{ \bullet}\) Sprawdzeniu czy \(\displaystyle{ A}\) jest liniowe co robisz z definicji. Alternatywnie można podać macierz tego przekształcenia \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -2 & 0\\ -2& 0 \end{matrix}\right]}\) i powołać się że odwzorowania macierzowe są liniowe.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Policzeniu \(\displaystyle{ A(a)}\) gdzie \(\displaystyle{ a=\left[\begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right]}\). Co sprowadzi się do wstawienia ów wektora do \(\displaystyle{ A}\) lub alternatywnie policzanie \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -2 & 0\\ -2& 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -4\\ -2 \end{matrix}\right]}\)

[kyzio]

O jezuu jakie to latwe jak sie teraz patrzy, ehh

Na wykladach mielismy teraz podstawy algebry tensorowej i dlatego uznalem ze to algebra tensorowa musi byc

Dzieki chlopaki!!

[matmatmm]

Alternatywnie można podać macierz tego przekształcenia \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -2 & 0\\ -2& 0 \end{matrix}\right]}\)

To będzie inna macierz

[Janusz Tracz]

Tak to będzie: \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -2 & 0\\ 0& -2 \end{matrix}\right]}\) dzięki

[a4karo]

W tym zadaniu wektor:

\(\displaystyle{ \vec{a} = 2 \left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix}0\\ 1 \end{matrix}\right]}\)

składa się z dwóch wektorów bazy kanonicznej \(\displaystyle{ \RR^2.}\)

Czy potrafisz narysować ten wektor w prostokątnym układzie współrzędnych \(\displaystyle{ \RR^2?}\)

Jak go poddamy operacji liniowej \(\displaystyle{ A(\vec{a}),}\) to obraz jakiego wektora otrzymamy?

Otrzymamy obraz wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\).