Wyznaczyć zbiór - odwzorowanie liniowe

Enhansa · Post autor: **Enhansa** » 7 wrz 2018, o 21:07

Witam,
Mam takie zadanko którego nie wiem trochę jak ugryźć.
Mam odwzorowanie liniowe : \(\displaystyle{ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} + 4x_{4}, 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4}, 4x_{2} + 7x_{3} + 7x_{4})}\)

Zadanie wygląda następująco:
Wyznacz zbiór \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \RR^{4} | f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (5, -5, 15) \} = f^{-1}(5, -5, 15)}\)

Szczerze - nie mam pojęcia jak się za to zabrać nawet, myślałem że może chodzi o odwzorowanie odwrotne, ale odwrotną macierz mogę wyznaczyć tylko z macierzy kwadratowej (tutaj macierz odwzorowania jest ewidentnie \(\displaystyle{ 3\times 4}\)), i utknąłem w martwym punkcie.
Proszę o jakąś wskazówkę

Z góry dziękuję za wszelką pomoc

karolex123 · Post autor: **karolex123** » 7 wrz 2018, o 21:49

Ułóż odpowiedni układ równań liniowych; szukasz wektorów \(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3, x_4)}\), takich, że \(\displaystyle{ f(x_1, x_2, x_3, x_4)=(5, -5, 15)}\), tj. takich że \(\displaystyle{ (2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} + 4x_{4}, 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4}, 4x_{2} + 7x_{3} + 7x_{4})=(5, -5, 15)}\)

Enhansa · Post autor: **Enhansa** » 7 wrz 2018, o 21:59

Skąd to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) w zapisie w takim razie...?

karolex123 · Post autor: **karolex123** » 8 wrz 2018, o 00:11

W tym wypadku zapis \(\displaystyle{ f^{-1}(5, -5, 15)}\) oznacza przeciwobraz (włókno) elementu \(\displaystyle{ (5, -5, 15)}\)