Diagonalizacja macierzy

[NiealgebraicznySwir]

Dana jest macierz\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
-10 & 6\\
-15 & 9
\end{array}
\right]
\qquad}\)
Wyznaczyć:
a) wielomian charakterystyczny
b) wartości własne i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)
c) macierz diagonalną \(\displaystyle{ V}\) i macierz \(\displaystyle{ P}\), takie, że \(\displaystyle{ A = PVP^{-1}}\)
d) \(\displaystyle{ A^{n}}\)
e) \(\displaystyle{ A^{2018}}\)

Wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ \lambda^{2} + \lambda}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1} = 0 \\
\lambda _{2} = -1}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ -5x+3y=0 \Rightarrow y = \frac{5}{3}x \Rightarrow \text{lin}\, \left\{ \left( 1, \frac{5}{3} \right) \right\}}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda _{2}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ -3x+2y=0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x \Rightarrow \text{lin}\, \left\{ \left( 1, \frac{3}{2} \right) \right\}}\)

\(\displaystyle{ P= \left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
\frac{5}{3} & \frac{3}{2}
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Po przekształceniu równania na \(\displaystyle{ P^{-1}AP=V}\)
otrzymuję macierz niediagonalną \(\displaystyle{ V}\)

Czy jest ktoś w stanie wskazać mi błąd?

Z góry dziękuję

[a4karo]

Wielomian jest źle policzony

[NiealgebraicznySwir]

\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{cc} -10-\lambda & 6\\ -15 & 9-\lambda \end{array} \right] \qquad}\)

więc wyznacznik \(\displaystyle{ \det A=(-10-\lambda)(9-\lambda)-(6 \cdot (-15)) = \lambda^{2} + \lambda}\)

[karolex123]

Macierz odwrotna do \(\displaystyle{ P}\) jest równa \(\displaystyle{ P^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} -9 & 6\\ 10 & -6 \end{array} \right]}\). Zatem:
\(\displaystyle{ PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right]}\), wszystko się zgadza

[a4karo]

Sorry

[NiealgebraicznySwir]

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ \frac{5}{3} & \frac{3}{2} \end{array} \right] \qquad
\left[ \begin{array}{cc} -10 & 6\\ -15 & 9 \end{array} \right] \qquad
\left[ \begin{array}{cc} -9 & 6\\ 10 & -6 \end{array} \right] \qquad
=
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] \qquad}\)


?

[karolex123]

Przepraszam, chodziło mi oczywiście o iloczyn \(\displaystyle{ P^{-1}AP}\). Wówczas dostaniesz macierz diagonalną