Przekształcenie liniowe, jądro Ker

[NiealgebraicznySwir]

Dzień dobry,

czy jest ktoś w stanie naprowadzić mnie na rozwiązanie poniższego zadania?

Z góry dziękuję

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ T(x, y, z, u, v) = (x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\).
a) który z wektorów \(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 1)}\) i \(\displaystyle{ (-3, 1, -2, 1, 1)}\) należy do jądra \(\displaystyle{ \ker T}\)? Wyjaśnić swoje stwierdzenie.
b) Wyznaczyć jądro \(\displaystyle{ \ker T}\).
c) Wyznaczyć bazę jądra \(\displaystyle{ \ker T}\).
d) Bazę (z części c) ) metodą Grama−Schmidta przekształcić w bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \ker T}\).
e) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest monomorfizmem? Dlaczego?
f) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem? Dlaczego?
g) Wyznaczyć \(\displaystyle{ T^{-1} (1, 5)}\).
h) Jaka jest zależność pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ T^{-1} (1,5)}\) i \(\displaystyle{ \ker T}\)?

[leg14]

który z wektorów (2, 1, 0, 0, 1) i (−3, 1, −2, 1, 1) należy do jądra kerT? Wyjaśnić swoje
stwierdzenie.

Wystarczy podstawić do wzoru...

Wiesz czym jest jadro?

[NiealgebraicznySwir]

Rozumiem, że jeżeli po podstawieniu otrzymam wektor zerowy to będzie on należał do jądra?

[Janusz Tracz]

tak

[NiealgebraicznySwir]

A kolejne podpunkty?

[karolex123]

b) Aby wyznaczyć jądro, trzeba sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ T(x, y, z, u, v) = (x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)=0}\) (rozwiązać układ dwu równań liniowych)

c) Wybrać wektory liniowo niezależne spośród wektorów rozpinających \(\displaystyle{ \ker T}\) wyznaczonych w b)

d) Wystarczy zaaplikować znany algorytm
e) Sprawdź czy jądro \(\displaystyle{ T}\) jest trywialne (zerowe)- jeśli nie, to \(\displaystyle{ T}\) nie jest monomorfizmem
f) Znajdź obraz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\); sprawdź czy jest równy \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}}\)
Albo: znając już wymiar jądra, łatwo znaleźć wymiar obrazu; wywnioskować stąd czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem
g)Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(1,5)}\)

-- 5 wrz 2018, o 19:19 --

h) Niech \(\displaystyle{ v,w \in T^{-1}(1,5)}\). Co można powiedzieć o wektorze \(\displaystyle{ v-w}\)?-- 5 wrz 2018, o 21:56 --Jeszcze co do punktu h); jeżeli \(\displaystyle{ v}\) jest dowolnym wektorem z \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\), to można zobaczyć, że \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\) jest klasą abstrakcji (warstwą) wektora \(\displaystyle{ v}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R^{5} / \ker T}\) (tym samym jest podprzestrzenią afiniczną w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \mathbb R^{5}}\))

[NiealgebraicznySwir]

Mam pytanie do podpunktu b.

Po stworzeniu macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & -1 & 1 & 2\\ 2 & -4& 1 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)

i doprowadzenia jej do postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0& 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)

w jaki sposób wyznaczyć ten wektor?

[karolex123]

Coś jest nie tak z ostatnią macierzą; nie powstaje ona przez wykonanie żadnych operacji elementarnych na macierzy pierwszej. Sprawdź swoje przekształcenia.

[NiealgebraicznySwir]

Przy przekształceniu macierzy wspomagałem się wolframem alpha.

[karolex123]

Jest jednak ok, po prostu źle przepisałaś pierwszą macierz. Zatem z ostatniej macierzy wynika, że \(\displaystyle{ x=2y-2u-3v}\) oraz \(\displaystyle{ z=-u-v}\). Stąd rozwiązania układu mają postać: \(\displaystyle{ (2y-2u-3v,y,-u-v,u,v)}\) dla \(\displaystyle{ y,u,v \in \mathbb R}\). Widać już jakie wektory rozpinają \(\displaystyle{ \ker T}\)?

[NiealgebraicznySwir]

Rozumiem, że będą to wektory:
\(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 1, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 0, 1)}\)

?

[karolex123]

Ostatnim jest \(\displaystyle{ (-3,0,-1,0,1)}\)

[NiealgebraicznySwir]

Faktyczne przepraszam za kolejna pomyłkę i wielkie dzięki za pomoc