Przekształcenie liniowe, jądro Ker
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Dzień dobry,
czy jest ktoś w stanie naprowadzić mnie na rozwiązanie poniższego zadania?
Z góry dziękuję
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ T(x, y, z, u, v) = (x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\).
a) który z wektorów \(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 1)}\) i \(\displaystyle{ (-3, 1, -2, 1, 1)}\) należy do jądra \(\displaystyle{ \ker T}\)? Wyjaśnić swoje stwierdzenie.
b) Wyznaczyć jądro \(\displaystyle{ \ker T}\).
c) Wyznaczyć bazę jądra \(\displaystyle{ \ker T}\).
d) Bazę (z części c) ) metodą Grama−Schmidta przekształcić w bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \ker T}\).
e) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest monomorfizmem? Dlaczego?
f) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem? Dlaczego?
g) Wyznaczyć \(\displaystyle{ T^{-1} (1, 5)}\).
h) Jaka jest zależność pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ T^{-1} (1,5)}\) i \(\displaystyle{ \ker T}\)?
czy jest ktoś w stanie naprowadzić mnie na rozwiązanie poniższego zadania?
Z góry dziękuję
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ T(x, y, z, u, v) = (x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\).
a) który z wektorów \(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 1)}\) i \(\displaystyle{ (-3, 1, -2, 1, 1)}\) należy do jądra \(\displaystyle{ \ker T}\)? Wyjaśnić swoje stwierdzenie.
b) Wyznaczyć jądro \(\displaystyle{ \ker T}\).
c) Wyznaczyć bazę jądra \(\displaystyle{ \ker T}\).
d) Bazę (z części c) ) metodą Grama−Schmidta przekształcić w bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \ker T}\).
e) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest monomorfizmem? Dlaczego?
f) Czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem? Dlaczego?
g) Wyznaczyć \(\displaystyle{ T^{-1} (1, 5)}\).
h) Jaka jest zależność pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ T^{-1} (1,5)}\) i \(\displaystyle{ \ker T}\)?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2018, o 16:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Wystarczy podstawić do wzoru...który z wektorów (2, 1, 0, 0, 1) i (−3, 1, −2, 1, 1) należy do jądra kerT? Wyjaśnić swoje
stwierdzenie.
Wiesz czym jest jadro?
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Rozumiem, że jeżeli po podstawieniu otrzymam wektor zerowy to będzie on należał do jądra?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
b) Aby wyznaczyć jądro, trzeba sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ T(x, y, z, u, v) = (x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)=0}\) (rozwiązać układ dwu równań liniowych)
c) Wybrać wektory liniowo niezależne spośród wektorów rozpinających \(\displaystyle{ \ker T}\) wyznaczonych w b)
d) Wystarczy zaaplikować znany algorytm
e) Sprawdź czy jądro \(\displaystyle{ T}\) jest trywialne (zerowe)- jeśli nie, to \(\displaystyle{ T}\) nie jest monomorfizmem
f) Znajdź obraz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\); sprawdź czy jest równy \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}}\)
Albo: znając już wymiar jądra, łatwo znaleźć wymiar obrazu; wywnioskować stąd czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem
g)Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(1,5)}\)
-- 5 wrz 2018, o 19:19 --
h) Niech \(\displaystyle{ v,w \in T^{-1}(1,5)}\). Co można powiedzieć o wektorze \(\displaystyle{ v-w}\)?-- 5 wrz 2018, o 21:56 --Jeszcze co do punktu h); jeżeli \(\displaystyle{ v}\) jest dowolnym wektorem z \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\), to można zobaczyć, że \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\) jest klasą abstrakcji (warstwą) wektora \(\displaystyle{ v}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R^{5} / \ker T}\) (tym samym jest podprzestrzenią afiniczną w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \mathbb R^{5}}\))
c) Wybrać wektory liniowo niezależne spośród wektorów rozpinających \(\displaystyle{ \ker T}\) wyznaczonych w b)
d) Wystarczy zaaplikować znany algorytm
e) Sprawdź czy jądro \(\displaystyle{ T}\) jest trywialne (zerowe)- jeśli nie, to \(\displaystyle{ T}\) nie jest monomorfizmem
f) Znajdź obraz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\); sprawdź czy jest równy \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}}\)
Albo: znając już wymiar jądra, łatwo znaleźć wymiar obrazu; wywnioskować stąd czy \(\displaystyle{ T}\) jest epimorfizmem
g)Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(1,5)}\)
-- 5 wrz 2018, o 19:19 --
h) Niech \(\displaystyle{ v,w \in T^{-1}(1,5)}\). Co można powiedzieć o wektorze \(\displaystyle{ v-w}\)?-- 5 wrz 2018, o 21:56 --Jeszcze co do punktu h); jeżeli \(\displaystyle{ v}\) jest dowolnym wektorem z \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\), to można zobaczyć, że \(\displaystyle{ T^{-1}(3,5)}\) jest klasą abstrakcji (warstwą) wektora \(\displaystyle{ v}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R^{5} / \ker T}\) (tym samym jest podprzestrzenią afiniczną w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \mathbb R^{5}}\))
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Mam pytanie do podpunktu b.
Po stworzeniu macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & -1 & 1 & 2\\ 2 & -4& 1 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)
i doprowadzenia jej do postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0& 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)
w jaki sposób wyznaczyć ten wektor?
Po stworzeniu macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & -1 & 1 & 2\\ 2 & -4& 1 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)
i doprowadzenia jej do postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} -1 & -2 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0& 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix}}\)
w jaki sposób wyznaczyć ten wektor?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Coś jest nie tak z ostatnią macierzą; nie powstaje ona przez wykonanie żadnych operacji elementarnych na macierzy pierwszej. Sprawdź swoje przekształcenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Przy przekształceniu macierzy wspomagałem się wolframem alpha.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Jest jednak ok, po prostu źle przepisałaś pierwszą macierz. Zatem z ostatniej macierzy wynika, że \(\displaystyle{ x=2y-2u-3v}\) oraz \(\displaystyle{ z=-u-v}\). Stąd rozwiązania układu mają postać: \(\displaystyle{ (2y-2u-3v,y,-u-v,u,v)}\) dla \(\displaystyle{ y,u,v \in \mathbb R}\). Widać już jakie wektory rozpinają \(\displaystyle{ \ker T}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Rozumiem, że będą to wektory:
\(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 1, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 0, 1)}\)
?
\(\displaystyle{ (2, 1, 0, 0, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 1, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-2, 0, -1, 0, 1)}\)
?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 5 wrz 2018, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Re: Przekształcenie liniowe, jądro Ker
Faktyczne przepraszam za kolejna pomyłkę i wielkie dzięki za pomoc