Treść zadania:
Wskazać macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f : R^{2} \rightarrow R^{2}}\) w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ \varepsilon = ( e_{1}, e_{2} )}\) , \(\displaystyle{ e_{1} = (1, 0)}\), \(\displaystyle{ e_{2} = (0, 1)}\) i bazie \(\displaystyle{ \varepsilon ^{\prime} = ( e_{1} ^{\prime} , e_{2} ^{\prime} )}\), jeżeli \(\displaystyle{ f(x _{1}, x _{2}) = (x _{1}-3x _{2}, 2x _{1}-x _{2} )}\); \(\displaystyle{ e_{1} ^{\prime} = -3e _{1}-e _{2}}\), \(\displaystyle{ e_{2} ^{\prime} = 5e _{1} + 2e _{2}}\);
Moja dotychczasowe działania:
\(\displaystyle{ f(x _{1}, x_{2}) = (x _{1} - 3x_{2}, 2x _{1}-x_{2})}\)
\(\displaystyle{ f(e _{1}) = f(1,0) = (1, 2) = $ \begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix} $}\)
\(\displaystyle{ (1, 2) = 1 \cdot e_{1} ^{\prime} + 2 \cdot e_{2} ^{\prime}}\)
\(\displaystyle{ e_{1} ^{\prime} = -3e _{1} - e _{2} = -3 \cdot $ \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} $ - $ \begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix} $ = $ \begin{bmatrix}
-3 \\
-1
\end{bmatrix} $}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie mojego toku rozumowania czy podążam właściwą drogą w zadaniu i ewentualnym nakierowaniu.
Wskazać macierz odwzorowania liniowego
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wskazać macierz odwzorowania liniowego
Tak to jest dobra droga. Macierz w bazie \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) to macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} f(e_1),f(e_2) \end{bmatrix}}\) analogicznie jest w bazie \(\displaystyle{ e_1',e_2'}\)
Re: Wskazać macierz odwzorowania liniowego
W takim razie dalsze działania:
\(\displaystyle{ e _{2} ^{\prime} = 5e _{1} + 2e _{2} = 5 \cdot (1, 0) + 2 \cdot (0, 1) = (5, 2)}\)
\(\displaystyle{ f(e _{1}) = (1, 2) = a _{1} _{1}(-3, -1) + a _{2} _{1} (5, 2)}\)
Układam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3a _{1} _{1} + 5a _{2} _{1} = 1 \\ -a _{1} _{1} + 2a _{2} _{1} = 2\end{cases}}\)
Niewiadome:
\(\displaystyle{ a _{1} _{1} = 8 , a _{2} _{1} = 5}\)
Analogicznie do drugiej bazy:
\(\displaystyle{ f(e _{2}) = (-3, -1) = a _{1} _{2}(-3, -1) + a _{2} _{2} (5, 2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3a _{1} _{2} + 5a _{2} _{2} = -3 \\ -a _{1} _{2} + 2a _{2} _{2} = -1\end{cases}}\)
Niewiadome:
\(\displaystyle{ a _{1} _{2} = 1 , a _{2} _{2} = 0}\)
Końcowo macierz odwzorowania prezentuje się następująco:
\(\displaystyle{ $ \begin{bmatrix}
8 & 1 \\
5 & 0
\end{bmatrix} $}\)
Proszę uprzejmie o sprawdzenie poprawności i ewentualne wskazanie błędów.
\(\displaystyle{ e _{2} ^{\prime} = 5e _{1} + 2e _{2} = 5 \cdot (1, 0) + 2 \cdot (0, 1) = (5, 2)}\)
\(\displaystyle{ f(e _{1}) = (1, 2) = a _{1} _{1}(-3, -1) + a _{2} _{1} (5, 2)}\)
Układam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3a _{1} _{1} + 5a _{2} _{1} = 1 \\ -a _{1} _{1} + 2a _{2} _{1} = 2\end{cases}}\)
Niewiadome:
\(\displaystyle{ a _{1} _{1} = 8 , a _{2} _{1} = 5}\)
Analogicznie do drugiej bazy:
\(\displaystyle{ f(e _{2}) = (-3, -1) = a _{1} _{2}(-3, -1) + a _{2} _{2} (5, 2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3a _{1} _{2} + 5a _{2} _{2} = -3 \\ -a _{1} _{2} + 2a _{2} _{2} = -1\end{cases}}\)
Niewiadome:
\(\displaystyle{ a _{1} _{2} = 1 , a _{2} _{2} = 0}\)
Końcowo macierz odwzorowania prezentuje się następująco:
\(\displaystyle{ $ \begin{bmatrix}
8 & 1 \\
5 & 0
\end{bmatrix} $}\)
Proszę uprzejmie o sprawdzenie poprawności i ewentualne wskazanie błędów.