Równanie płaszczyzny,opis parametryczny, punkty prostej.

[IchigO123456]

Płaszczyzna \(\displaystyle{ P}\) przecina osie kartezjańskiego układu współrzędnych w punktach \(\displaystyle{ \left( 1,0,0 \right) , \left( 0,\frac12,0 \right) , \left( 0,0,-\frac12 \right) .}\)
a) Podać równanie ogólne tej płaszczyzny i opis parametryczny prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \left( 0,\frac12,0 \right)}\).
b) Wyznaczyć wszystkie punkty należące do tej prostej o położone w odległości \(\displaystyle{ 2}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\).
Proszę bardzo o rozwiązaniu na chłopski rozum)
Czy panstwo może doradzić materiał do nauki jak robić te równania płaszczyzny i takiego typu zdania.

[kerajs]

Chłopski spryt tu nie wystarczy, potrzebna jest krzta wiedzy.
Niech \(\displaystyle{ A=\left( 1,0,0 \right) , B=\left( 0,\frac12,0 \right) , C=\left( 0,0,-\frac12 \right) .}\)
Wektor normalny płaszczyzny P (i kierunkowy prostej) to np:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{AB} \times \vec{AC} =\left[ \frac{-1}{4}, \frac{-1}{2} , \frac{1}{2} \right]}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P: \ \frac{-1}{4}(x-1)+ \frac{-1}{2}(y-0) + \frac{1}{2}(z-0)=0\\
\\
P: \ x+2y-2z-1=0 \\

k : \ \ \begin{cases} x=t \\ y= \frac{1}{2}+2t \\ z=-2t \end{cases}}\)


b) Skoro prosta k przebija P w punkcie B to szukane punkty X,Y można wyliczyć tak:
\(\displaystyle{ \vec{PX}=2 \vec{k_u} \\
\vec{PY}=-2 \vec{k_u} \ \ \ \ gdzie \ \ \vec{k_u}=\left[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} , \frac{-2}{3} \right]}\)
co pewnie potrafisz zrobić.

[IchigO123456]

kerajs,Przepraszam, może za głupie pytanie, ale skąd to masz \(\displaystyle{ \ \ \vec{k_u}=\left[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} , \frac{-2}{3} \right]}\)

[a4karo]

Prościej ; poczytaj o równaniu prostej w postaci odcinkowej

[kerajs]

kerajs,Przepraszam, może za głupie pytanie, ale skąd to masz \(\displaystyle{ \ \ \vec{k_u}=\left[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} , \frac{-2}{3} \right]}\)

Fakt, to rzadziej stosowany sposób. Wektorem kierunkowym prostej jest \(\displaystyle{ \vec{k}=\left[ 1,2,-2\right]}\) . Szukane punkty leżą w kierunku tego wektora zaczepionego w punkcie \(\displaystyle{ B}\) i są odległe o \(\displaystyle{ 2}\). Unormowałem więc wektor, aby miał długość \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ \vec{k_u}= \frac{ 1 }{\left| \vec{k} \right| }\vec{k}= \frac{1}{ \sqrt{1^2+2^2+ \left( -1 \right) ^2} } \left[ 1,2,-2\right]=\left[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} , \frac{-2}{3} \right]}\)
I stąd kolejne zależności.

Częściej robi się tak. Szuka się punktu przebicia płaszczyzny przez prostą. Tu od razu go znamy, to punkt \(\displaystyle{ B}\). Na prostej istnieje punkt odległy od \(\displaystyle{ B}\) o \(\displaystyle{ 2}\) więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( t-0 \right) ^2+ \left( \frac{1}{2}+2t- \frac{1}{2} \right) ^2+ \left( -2t-0 \right) ^2}=2 \\
t^2+4t^2+4t^2=4\\
t= \frac{2}{3} \vee t= \frac{-2}{3}}\)
Wstaw uzyskane wartości \(\displaystyle{ t}\) do równania prostej, a otrzymasz szukane punkty.

Można też liczyć jeszcze inaczej.