Podać macierz

[IchigO123456]

\(\displaystyle{ T= \left[\begin{array}{ccc}-3&2&2\\-1&2&1\end{array}\right]}\)

Podać taką macierz \(\displaystyle{ S \in M _{3\times 2} (\RR)}\), że iloczyn \(\displaystyle{ TS}\) jest macierzą jednostkową wymiaru \(\displaystyle{ 2}\).
Proszę bardzo o rozwiązaniu na chłopski rozum)

[kerajs]

\(\displaystyle{ TS= \left[\begin{array}{ccc}-3&2&2\\-1&2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\ e&f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3a+2c+2e&-3b+2d+2f\\-a+2c+e&-b+2d+e\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-3a+2c+2e&-3b+2d+2f\\-a+2c+e&-b+2d+e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-3a+2c+2e=1\\-3b+2d+2f=0\\-a+2c+e=0\\-b+2d+e=1 \end{cases}}\)

Ponieważ S ma być dowolną macierzą spełniającą równanie to wystarczy przyjąć ża nadmiarowe niewiadome mają pewną wartość.
Np: dla \(\displaystyle{ e=f=0}\) układ ma rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{-1}{2} \\ b= \frac{1}{2} \\ c= \frac{-1}{4} \\ d= \frac{3}{4} \end{cases}}\)

Choć można także sparametryzować rozwiązanie, np:
\(\displaystyle{ \begin{cases} e= 1+2a \\ c= \frac{-1-a}{2} \\ f= -1+2b \\ d= \frac{2-b}{4} \end{cases}}\)

[SidCom]

\(\displaystyle{ (TS)_{2,2}=-b+2d+f}\)