Jądro,liniowa suriekcja.

[IchigO123456]

\(\displaystyle{ T= \left[\begin{array}{ccc}-3&2&2\\-1&2&1\end{array}\right]}\)

Wykazać że \(\displaystyle{ T}\) jest liniową suriekcją i podać jej jądro.
Proszę bardzo o pomoc co jest linową suriekcją i jak policzyć ją i jądro.

[Janusz Tracz]

Nie wiem czy w zadaniu nie ma błędu, albo ja się mylę. Jeśli bredzę proszę mnie poprawić. Wydaje mi się że \(\displaystyle{ \dim \ker T \neq 0}\) a dokładniej \(\displaystyle{ \ker T=\text{lin} \left\{ \left( \begin{array}{ccc}
2 \\
-1\\
4
\end{array} \right)\right\}}\) czyli jest to prosta \(\displaystyle{ \dim \ker T=1}\) więc \(\displaystyle{ T}\) suriekcją nie jest. Ogólnie mamy przecież że \(\displaystyle{ T \ \text{jest suriekcją} \ \Leftrightarrow \dim\ker T=0}\). Jest natomiast przekształceniem liniowym jak każda macierz.

[karolex123]

Nie wiem czy w zadaniu nie ma błędu, albo ja się mylę. Jeśli bredzę proszę mnie poprawić.
Ogólnie mamy przecież że \(\displaystyle{ T \ \text{jest suriekcją} \ \Leftrightarrow \dim\ker T=0}\).

Nie jest to prawda. Mamy bowiem równoważność, że \(\displaystyle{ T}\) jest monomorfizmem (tj. różnowartościowym homomorfizmem ) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ker T}\) jest trywialne (zerowe).
Prawdą jest zaś, że \(\displaystyle{ T \in \mathbb R_{m \times n}}\) jest epimorfizmem tylko wtedy, gdy rząd \(\displaystyle{ T}\) jest równy \(\displaystyle{ m}\). W tym wypadku tak właśnie jest, a więc \(\displaystyle{ T}\) jest surjektywne.

Jądro \(\displaystyle{ T}\) jest według mnie wyznaczone poprawnie. Swoją drogą, skoro \(\displaystyle{ T}\) idzie z \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\), to \(\displaystyle{ T}\) musi mieć niezerowe jądro; gdyby tak nie było to mielibyśmy \(\displaystyle{ \dim \ \text{im} (\phi)=\dim \mathbb R^3=3}\), a to jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ \ \text{im} (\phi) \subseteq \mathbb R^2}\), skąd \(\displaystyle{ \dim \ \text{im} (\phi) \le 2}\)

Warto zapamiętać:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem

[Janusz Tracz]

Dziwne, dziękuję. Wyczytałem to twierdzenie w książce i znalazłem tam cytowane wcześniej twierdzenie o równoważności suriekcji i zerowym wymiarze jądra. Najwyraźniej go nie rozumiem. Sprawdziłem to z definicji obrazu odwzorowania i faktycznie wygląda na to że \(\displaystyle{ T}\) jest suriekcją. Bo \(\displaystyle{ \text{im}T=\RR^2}\) wszak

\(\displaystyle{ \text{im}T=\text{lin}\left\{
\left( \begin{array}{ccc} -3 \\ -1 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)
\right\}=\RR^2}\)

A \(\displaystyle{ T:\RR^3 \rightarrow \RR^2}\) czyli obraz pokrywa się z przeciwdziedziną. To chyba już jest poprawnie.

[karolex123]

Janusz Tracz, można wiedzieć w jakiej książce? Generalnie w różnych algebrach (grupach, przestrzeniach wektorowych, pierścieniach, ciałach) trywialność jądra homomorfizmu jest równoważna jego różnowartościowości, jest to więc dosyć powszechna "prawda"

Z resztą ta rzekoma równoważność jest szczególnie niedorzeczna w przypadku form liniowych na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\), gdzie np. \(\displaystyle{ \dim V=5}\). O ile mamy niezerową formę \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ V}\), to naturalnie \(\displaystyle{ f}\) jest surjektywna (jest na ciało skalarów). Jądro takiej formy jest zaś czterowymiarowe (jest hiperpłaszczyzną zanurzoną w \(\displaystyle{ V}\)), a więc nie byłoby mowy o surjekcji, gdyby taka równoważność zachodziła

[Janusz Tracz]

Janusz Tracz, można wiedzieć w jakiej książce?

W książce "Markowe wykłady z matematyki algebra z geometrią" autorstwa Marka Zakrzewskiego w rozdziale przekształcenia liniowe (podrozdział suriekcja, injekcja, bijekcja) jest napisane, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L}\) charakteryzuje się tym że stwierdzenia:
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest injekcją
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest suriekcją
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest bijekcją
Są równoważne. A za dowód służy tu równoważność:

\(\displaystyle{ L \ \text{jest injekcją} \ \Leftrightarrow \ \dim\ker L=0 \ \Leftrightarrow \ \dim\Im L=n \ \Leftrightarrow \ L \ \text{jest suriekcją}}\)

To są prawie że cytaty z książki. Uznałem więc że jak pokażę że \(\displaystyle{ \dim\ker T=0}\) to zadanie zostanie rozwiązanie. A okazuje się że tego nie rozumiem.

[karolex123]

Przytoczona równoważność jest prawdziwa, gdy \(\displaystyle{ L}\) jest operatorem liniowym na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), tj. wtedy, gdy \(\displaystyle{ L:V \rightarrow V}\). Ewentualnie, gdy \(\displaystyle{ L:V \rightarrow W}\) oraz \(\displaystyle{ \dim V=\dim W < \infty}\), tj. gdy przestrzenie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) są izomorficzne. Najprościej rzecz ujmując jest to prawda, gdy \(\displaystyle{ L}\) jest reprezentowane przez macierz kwadratową. Warunki te są wówczas także równoważne temu, że \(\displaystyle{ \det L \neq 0}\) no i wtedy \(\displaystyle{ L}\) jest właśnie izomorfizmem.

[Janusz Tracz]

Więc moim błędem było niedopilnowanie warunków. Warunek \(\displaystyle{ \dim V=\dim W}\) nie jest spełniony więc równoważności też nie musza być spełnione. \(\displaystyle{ T}\) nie jest macierzą kwadratową stąd pojawiły się błędy. Teraz już to wiem. W takim razie można to sprawdzać z definicji jądra oraz obrazu. Co chyba już zrobiłem poprawnie.

[karolex123]

W takim razie można to sprawdzać z definicji jądra oraz obrazu. Co chyba już zrobiłem poprawnie.

Jak najbardziej
Ewentualnie można popatrzeć na rząd macierzy \(\displaystyle{ T}\) i porównać z wymiarem przeciwdziedziny