Jądro,liniowa suriekcja.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 18 sie 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
\(\displaystyle{ T= \left[\begin{array}{ccc}-3&2&2\\-1&2&1\end{array}\right]}\)
Wykazać że \(\displaystyle{ T}\) jest liniową suriekcją i podać jej jądro.
Proszę bardzo o pomoc co jest linową suriekcją i jak policzyć ją i jądro.
Wykazać że \(\displaystyle{ T}\) jest liniową suriekcją i podać jej jądro.
Proszę bardzo o pomoc co jest linową suriekcją i jak policzyć ją i jądro.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2018, o 19:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Nie wiem czy w zadaniu nie ma błędu, albo ja się mylę. Jeśli bredzę proszę mnie poprawić. Wydaje mi się że \(\displaystyle{ \dim \ker T \neq 0}\) a dokładniej \(\displaystyle{ \ker T=\text{lin} \left\{ \left( \begin{array}{ccc}
2 \\
-1\\
4
\end{array} \right)\right\}}\) czyli jest to prosta \(\displaystyle{ \dim \ker T=1}\) więc \(\displaystyle{ T}\) suriekcją nie jest. Ogólnie mamy przecież że \(\displaystyle{ T \ \text{jest suriekcją} \ \Leftrightarrow \dim\ker T=0}\). Jest natomiast przekształceniem liniowym jak każda macierz.
2 \\
-1\\
4
\end{array} \right)\right\}}\) czyli jest to prosta \(\displaystyle{ \dim \ker T=1}\) więc \(\displaystyle{ T}\) suriekcją nie jest. Ogólnie mamy przecież że \(\displaystyle{ T \ \text{jest suriekcją} \ \Leftrightarrow \dim\ker T=0}\). Jest natomiast przekształceniem liniowym jak każda macierz.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Nie jest to prawda. Mamy bowiem równoważność, że \(\displaystyle{ T}\) jest monomorfizmem (tj. różnowartościowym homomorfizmem ) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ker T}\) jest trywialne (zerowe).Janusz Tracz pisze:Nie wiem czy w zadaniu nie ma błędu, albo ja się mylę. Jeśli bredzę proszę mnie poprawić.
Ogólnie mamy przecież że \(\displaystyle{ T \ \text{jest suriekcją} \ \Leftrightarrow \dim\ker T=0}\).
Prawdą jest zaś, że \(\displaystyle{ T \in \mathbb R_{m \times n}}\) jest epimorfizmem tylko wtedy, gdy rząd \(\displaystyle{ T}\) jest równy \(\displaystyle{ m}\). W tym wypadku tak właśnie jest, a więc \(\displaystyle{ T}\) jest surjektywne.
Jądro \(\displaystyle{ T}\) jest według mnie wyznaczone poprawnie. Swoją drogą, skoro \(\displaystyle{ T}\) idzie z \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\) w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\), to \(\displaystyle{ T}\) musi mieć niezerowe jądro; gdyby tak nie było to mielibyśmy \(\displaystyle{ \dim \ \text{im} (\phi)=\dim \mathbb R^3=3}\), a to jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ \ \text{im} (\phi) \subseteq \mathbb R^2}\), skąd \(\displaystyle{ \dim \ \text{im} (\phi) \le 2}\)
Warto zapamiętać:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Dziwne, dziękuję. Wyczytałem to twierdzenie w książce i znalazłem tam cytowane wcześniej twierdzenie o równoważności suriekcji i zerowym wymiarze jądra. Najwyraźniej go nie rozumiem. Sprawdziłem to z definicji obrazu odwzorowania i faktycznie wygląda na to że \(\displaystyle{ T}\) jest suriekcją. Bo \(\displaystyle{ \text{im}T=\RR^2}\) wszak
\(\displaystyle{ \text{im}T=\text{lin}\left\{
\left( \begin{array}{ccc} -3 \\ -1 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)
\right\}=\RR^2}\)
A \(\displaystyle{ T:\RR^3 \rightarrow \RR^2}\) czyli obraz pokrywa się z przeciwdziedziną. To chyba już jest poprawnie.
\(\displaystyle{ \text{im}T=\text{lin}\left\{
\left( \begin{array}{ccc} -3 \\ -1 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 2 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)
\right\}=\RR^2}\)
A \(\displaystyle{ T:\RR^3 \rightarrow \RR^2}\) czyli obraz pokrywa się z przeciwdziedziną. To chyba już jest poprawnie.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Janusz Tracz, można wiedzieć w jakiej książce? Generalnie w różnych algebrach (grupach, przestrzeniach wektorowych, pierścieniach, ciałach) trywialność jądra homomorfizmu jest równoważna jego różnowartościowości, jest to więc dosyć powszechna "prawda"
Z resztą ta rzekoma równoważność jest szczególnie niedorzeczna w przypadku form liniowych na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\), gdzie np. \(\displaystyle{ \dim V=5}\). O ile mamy niezerową formę \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ V}\), to naturalnie \(\displaystyle{ f}\) jest surjektywna (jest na ciało skalarów). Jądro takiej formy jest zaś czterowymiarowe (jest hiperpłaszczyzną zanurzoną w \(\displaystyle{ V}\)), a więc nie byłoby mowy o surjekcji, gdyby taka równoważność zachodziła
Z resztą ta rzekoma równoważność jest szczególnie niedorzeczna w przypadku form liniowych na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\), gdzie np. \(\displaystyle{ \dim V=5}\). O ile mamy niezerową formę \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ V}\), to naturalnie \(\displaystyle{ f}\) jest surjektywna (jest na ciało skalarów). Jądro takiej formy jest zaś czterowymiarowe (jest hiperpłaszczyzną zanurzoną w \(\displaystyle{ V}\)), a więc nie byłoby mowy o surjekcji, gdyby taka równoważność zachodziła
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
W książce "Markowe wykłady z matematyki algebra z geometrią" autorstwa Marka Zakrzewskiego w rozdziale przekształcenia liniowe (podrozdział suriekcja, injekcja, bijekcja) jest napisane, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L}\) charakteryzuje się tym że stwierdzenia:Janusz Tracz, można wiedzieć w jakiej książce?
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest injekcją
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest suriekcją
\(\displaystyle{ \bullet L}\) jest bijekcją
Są równoważne. A za dowód służy tu równoważność:
\(\displaystyle{ L \ \text{jest injekcją} \ \Leftrightarrow \ \dim\ker L=0 \ \Leftrightarrow \ \dim\Im L=n \ \Leftrightarrow \ L \ \text{jest suriekcją}}\)
To są prawie że cytaty z książki. Uznałem więc że jak pokażę że \(\displaystyle{ \dim\ker T=0}\) to zadanie zostanie rozwiązanie. A okazuje się że tego nie rozumiem.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Przytoczona równoważność jest prawdziwa, gdy \(\displaystyle{ L}\) jest operatorem liniowym na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), tj. wtedy, gdy \(\displaystyle{ L:V \rightarrow V}\). Ewentualnie, gdy \(\displaystyle{ L:V \rightarrow W}\) oraz \(\displaystyle{ \dim V=\dim W < \infty}\), tj. gdy przestrzenie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) są izomorficzne. Najprościej rzecz ujmując jest to prawda, gdy \(\displaystyle{ L}\) jest reprezentowane przez macierz kwadratową. Warunki te są wówczas także równoważne temu, że \(\displaystyle{ \det L \neq 0}\) no i wtedy \(\displaystyle{ L}\) jest właśnie izomorfizmem.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Więc moim błędem było niedopilnowanie warunków. Warunek \(\displaystyle{ \dim V=\dim W}\) nie jest spełniony więc równoważności też nie musza być spełnione. \(\displaystyle{ T}\) nie jest macierzą kwadratową stąd pojawiły się błędy. Teraz już to wiem. W takim razie można to sprawdzać z definicji jądra oraz obrazu. Co chyba już zrobiłem poprawnie.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Jądro,liniowa suriekcja.
Jak najbardziejJanusz Tracz pisze: W takim razie można to sprawdzać z definicji jądra oraz obrazu. Co chyba już zrobiłem poprawnie.
Ewentualnie można popatrzeć na rząd macierzy \(\displaystyle{ T}\) i porównać z wymiarem przeciwdziedziny