Wzór na współrzędną punktu C

[Mariusz-MK]

Witam, jak wyznaczyć wzory na współrzędną punktu C?
Dane:
punkt A (x,y) - początek wektora
punkt B (x,y) - koniec wektora
odległość L - pomiędzy A i C

Szukam:
punkt C (x?,y?) - w tym samym kierunku i na tej samej prostej

A------------>B--------------------------->C

[karolex123]

Nie rozumiem czemu współrzędne punktów\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczamy dokładnie tak samo, ale to szczegół.
Co do zadania- z czym jest problem? Znamy kierunek prostej, na której ma leżeć punkt \(\displaystyle{ C}\) i jego odległość od \(\displaystyle{ A}\) (i stronę, po której ma się znajdować)

[Mariusz-MK]

Oczywiście punkty x i y należy oznaczyć innymi indeksami, ale to jest oczywiste. Problem w tym że potrzebuje równań, z których mógłbym wyznaczyć współrzędne C. Wektory miałem dawno temu i nie mogę znaleźć dobrego rozwiązania. Proszę o radę a dalej powinienem sobie poradzić.

[karolex123]

Dobrze, niech zatem \(\displaystyle{ A=\left( x_A , y_A\right)}\) i \(\displaystyle{ B=\left( x_B, y_B\right)}\). Mamy wówczas \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\left[ x_B - x_A,y_B - y_A\right]}\), a więc prosta \(\displaystyle{ AB}\) jest zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ \left( x_A +t(x_B- x_A), y_A +t(y_B- y_A)\right) \in \mathbb R ^2: t \in \mathbb R \right\}}\) (każdy punkt prostej \(\displaystyle{ AB}\) jest bowiem postaci \(\displaystyle{ A+t \overrightarrow{AB}}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb R}\) ). Ponieważ zaś punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na półprostej \(\displaystyle{ AB}\) o początku w punkcie \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ C= \left( x_A +t(x_B- x_A), y_A +t(y_B- y_A)\right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t>0}\). Wystarczy teraz wykorzystać warunek z odległością od punktu \(\displaystyle{ A}\), poradzisz sobie? Zauważ, że potrzebujemy znaleźć tylko \(\displaystyle{ t>0}\), bo \(\displaystyle{ A, B}\) są dane

Moje rozwiązanie opiera się na parametrycznym opisie prostej na płaszczyźnie, gdyż obejmuje wszystkie przypadki- gdybyśmy chcieli posłużyć się np. postacią kierunkową prostej, to musielibyśmy zastrzegać, że \(\displaystyle{ x_B- x_A \neq 0}\) i dodatkowo rozpatrywać przypadek, w którym kierunek prostej jest zgodny z kierunkiem osi \(\displaystyle{ OY}\)

[Mariusz-MK]

Czyli podstawić Twoje współrzędne punktu C do wzoru na odległość L pomiędzy punktem A i C i wyznaczyc wartość t?

[karolex123]

O tym właśnie myślałem

[Mariusz-MK]

Dzięki wielkie,
nie potrafię tego wzoru tu wpisać, żeby się dobrze wyświetlał, ale mam ten wzór rozpisany na kartce .
Pozdrawiam
MK