Dowód twierdzenia o przekształceniu liniowym

[kp1]

Witam, mam problem z następującym dowodem :

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą przestrzeniami liniowymi. Uzasadnić, że dla dowolnych podprzestrzeni \(\displaystyle{ U,V}\) odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ X,Y}\) spełniających zależność :
\(\displaystyle{ \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) < \infty}\) istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L : X \rightarrow Y}\) takie, że \(\displaystyle{ \mathrm{Ker}(L) = U}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{Im}(L) = V}\).
Nie za bardzo mam pomysł jak zacząć, proszę o nakierowanie na właściwy tok rozumowania.

[Dasio11]

Czy znasz ten fakt?

Niech \(\displaystyle{ B = \{ b_1, \ldots, b_n \}}\) będzie bazą przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ y_1, \ldots y_n}\) dowolnymi elementami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ Y}\). Wtedy istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f : X \to Y}\), takie że \(\displaystyle{ f(b_i) = y_i}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, \ldots, n}\).

[kp1]

Czy to znaczy, że wystarczy uzupełnić bazę \(\displaystyle{ Ker(L)}\) do bazy \(\displaystyle{ X}\) i pokazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe, przekształcające wektory bazowe przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) w wektory zerowe albo w wektory rozpinające podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\)?

[Dasio11]

Czy to znaczy, że wystarczy uzupełnić bazę \(\displaystyle{ Ker(L)}\) do bazy \(\displaystyle{ X}\)

Początek dobry.

i pokazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe, przekształcające wektory bazowe przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) w wektory zerowe albo w wektory rozpinające podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\)?

Jeśli zna się fakt, który przytoczyłem, to wystarczy się na niego powołać - ale trzeba dokładnie powiedzieć, które wektory mają przejść na co.

[kp1]

Już chyba rozumiem, wektory które tworzyły bazę \(\displaystyle{ Ker(L)}\) staną się wektorami zerowymi, a te uzupełnione rozepną podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\).

[Dasio11]

Dobrze.

[kp1]

Dziękuję Dasio11 za pomoc!