Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
rzeznikzblaviken
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Niemcy
Podziękował: 1 raz

Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1

Post autor: rzeznikzblaviken »

Mam udowodnić, że
\(\displaystyle{ |\det(F)| = 1}\) gdzie \(\displaystyle{ F \in \CC^{n \times n}}\). Dodatkowe pytanie brzmi, co można z tego wywnioskować, kiedy wszystkie elementy w \(\displaystyle{ F}\) są liczbami rzeczywistymi.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1

Post autor: Dasio11 »

Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest macierzą izometrii, to \(\displaystyle{ F^* F = I}\), gdzie \(\displaystyle{ F^* = \overline{F}^{\top}}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1

Post autor: janusz47 »

Dla przekształcenia izometrycznego \(\displaystyle{ T\in \mathcal{L}(V)}\)

\(\displaystyle{ T[K(0,1)] = K(0,1).}\)

Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, że

\(\displaystyle{ \int_{T[K(0,1)]} 1dx = \int_{K(0,1)}1|det(T)|dx,}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ |det(T)| = 1.}\)
ODPOWIEDZ