Mam udowodnić, że
\(\displaystyle{ |\det(F)| = 1}\) gdzie \(\displaystyle{ F \in \CC^{n \times n}}\). Dodatkowe pytanie brzmi, co można z tego wywnioskować, kiedy wszystkie elementy w \(\displaystyle{ F}\) są liczbami rzeczywistymi.
Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1
Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest macierzą izometrii, to \(\displaystyle{ F^* F = I}\), gdzie \(\displaystyle{ F^* = \overline{F}^{\top}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Udowodnij, że determinanta izometrii jest równa 1 lub -1
Dla przekształcenia izometrycznego \(\displaystyle{ T\in \mathcal{L}(V)}\)
\(\displaystyle{ T[K(0,1)] = K(0,1).}\)
Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, że
\(\displaystyle{ \int_{T[K(0,1)]} 1dx = \int_{K(0,1)}1|det(T)|dx,}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ |det(T)| = 1.}\)
\(\displaystyle{ T[K(0,1)] = K(0,1).}\)
Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, że
\(\displaystyle{ \int_{T[K(0,1)]} 1dx = \int_{K(0,1)}1|det(T)|dx,}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ |det(T)| = 1.}\)