Czy ta macierz jest izometrią?

[rzeznikzblaviken]

Witam mam macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&5&3\\3&2&2\\5&3&2\end{array}\right]}\) i muszę stwierdzić czy ta macierz jest izometryczna. Niestety nie rozumiem do końca jak to zrobić. Poproszę o pomoc. Z góry dzięki.

[karolex123]

Policz \(\displaystyle{ A ^{T} A}\) , gdzie \(\displaystyle{ A^T}\) oznacza macierz transponowaną. Jeśli otrzymana macierz jest identycznością, to mamy izometrię, w przeciwnym wypadku macierz nie jest izometrią.
Jeśli dobrze rozumiemy istotę izometrii, to łatwo widać, że to przekształcenie nie może nią być- wystarczy spojrzeć na normę obrazu jednego z wektorów bazowych (zakładam, że macierz jest zadana w bazie ortonormalnej, np. standardowej)

[rzeznikzblaviken]

Ok, dzięki wielkie. A czy ta zależność działa też w zbiorze liczb zespolonych?

[karolex123]

Jeśli mamy zadaną macierz (operator) \(\displaystyle{ A}\) nad ciałem liczb zespolonych, to musimy działać inaczej. Chodzi o problemy z normą wektora- elementu przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb C}\). Gdybyśmy bowiem chcieli aplikować tę samą formułę na iloczyn skalarny, to dajmy na to w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb C ^2}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ \left( i,i\right) \left( i,i\right)=-2<0}\) (pomijam oznaczenie iloczynu skalarnego). Gubimy więc żądaną przez nas dodatnią określoność iloczynu. Lepszym pomysłem jest powiedzenie, że dla \(\displaystyle{ v,w \in V}\) niech \(\displaystyle{ \left\langle v,w\right\rangle=v^T \overline{w}}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) jest wektorem kolumnowym, \(\displaystyle{ v^T}\) jego transpozycją (wektorem wierszowym), a przez \(\displaystyle{ \left\langle , \right\rangle}\) oznaczam "nowy" iloczyn. Łatwo sprawdzić, że tak określony iloczyn jest dodatnio określony, a ponadto liniowy ze względu na pierwszą zmienną i półliniowy ze względu na drugą (addytywny i jednorodny ze sprzężeniem). Możemy zatem zdefiniować normę wektora \(\displaystyle{ v}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{\left\langle v,v \right\rangle }}\).
Izometria \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) z tak określonym iloczynem musi więc spełniać warunek \(\displaystyle{ A^T \overline{A}= Id}\), gdzie \(\displaystyle{ \overline{A}}\) oznacza macierz sprzężoną do \(\displaystyle{ A}\) (łatwo to sprawdzić, zostawiam). Oczywiście przez izometrię rozumiemy tutaj przekształcenie liniowe zachowujące tak zdefiniowany iloczyn skalarny.
Trochę się rozwinąłem, ale jakby coś było niejasne- pytaj

Dodam jeszcze, że macierz \(\displaystyle{ A}\) spełniająca \(\displaystyle{ A^T \overline{A}= Id}\) nazywa się unitarną, a samą przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) wraz z formą \(\displaystyle{ \left\langle , \right\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb C}\) - przestrzenią unitarną (w razie jakbyś chciał o tym poczytać)