Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 64 razy

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni.

Post autor: Big_Boss1997 »

Dzień dobry. Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania zadania:

Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ A = \left\{ p \in \RR \left[ x\right] _{2} : p(1) = p'(0) \right\}}\). Standardowa baza przestrzeni \(\displaystyle{ \RR \left[ x\right] _{2}}\) : \(\displaystyle{ B = \left( 1, x, x^{2} \right)}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ p(x) = a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^{2}}\)
\(\displaystyle{ p'(x) = b + 2c \cdot x}\)

\(\displaystyle{ p(1) = p'(0) \Leftrightarrow a + b + c = b}\)

\(\displaystyle{ a + b + c = b \Rightarrow a = -t, b = s, c = t}\), gdzie \(\displaystyle{ t, s \in \RR}\)

Wtedy \(\displaystyle{ A = \left\{ (-t, s, t), t, s \in \RR\right\} = \left\{ s(0, 1, 0) + t(-1, 0, 1), t, s \in \RR\right\}}\)

Baza \(\displaystyle{ B_{1} = \left\{ (0, 1, 0), (-1, 0, 1)\right\}}\) i \(\displaystyle{ dimA = 2}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni.

Post autor: Janusz Tracz »

Rozwiązanie jest ok. Ja osobiście wolę się trzymać zapisu tych wektorów jako wielomiany bo
\(\displaystyle{ A = \left\{ (-t, s, t), t, s \in \RR\right\} = \left\{ s(0, 1, 0) + t(-1, 0, 1), t, s \in \RR\right\}}\)
Kojarzy mi się z podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \RR^n}\) a nie podprzestrzenią wielomianów. Więc by uniknąć takich dylematów zapisał bym:
\(\displaystyle{ A = \left\{ p \in \RR \left[ x\right] _{2} : p(1) = p'(0) \right\}=\left\{ax^2+bx+c : a,b,c\in\RR \wedge a+b+c=b \right\}= \\ = \left\{ax^2+bx-a : a,b\in\RR \right\}=\left\{a(x^2-1)+bx : a,b\in\RR \right\}=\text{lin}\left\{ x^2-1,x\right\}}\)

Więc bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left\{ x^2-1,x\right\}}\) więc \(\displaystyle{ \dim A=\left|\mathcal{B} \right|=2}\). Warto zauważyć że Twój zapis \(\displaystyle{ B_{1} = \left\{ (0, 1, 0), (-1, 0, 1)\right\}}\) oznacza to samo co wektor \(\displaystyle{ x^2-1}\) w standardowej bazie wielomianów \(\displaystyle{ \RR_2\left[ x\right]}\) to właśnie \(\displaystyle{ \left( 1,0-1\right)}\) taki wektor masz w bazie. Tak samo \(\displaystyle{ x}\) to jest \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) i też go masz w \(\displaystyle{ B_1}\).
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 64 razy

Re: Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni.

Post autor: Big_Boss1997 »

Janusz Tracz, dzięki za radę.
ODPOWIEDZ