Oblicz potęgę macierzy

[radkowski]

Cześć, mam problem z następującym zadaniem:
Dana jest macierz \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&2\end{array}\right]}\)

oblicz \(\displaystyle{ A^{424}}\)

Udało mi się policzyć wartości własne są to kolejno:
\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \frac{3- \sqrt{5}}{2} \\
\lambda_{2}= \frac{3+ \sqrt{5}}{2}}\)
Następnie policzyłem wektory własne:
\(\displaystyle{ V_{1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right] \\
V_{2} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1- \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]}\)
Macierz Przejścia \(\displaystyle{ P = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1+ \sqrt{5}}{2}&\frac{1- \sqrt{5}}{2}\\1&1\end{array}\right]}\)

Macierz odwrotna: \(\displaystyle{ P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{5- \sqrt{5}}{10}\\-\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{5+ \sqrt{5}}{10}\end{array}\right]}\)

Jeśli dobrze rozumiem, to by policzyć \(\displaystyle{ A^{424}}\) musze skorzystać ze wzoru, który po przekształceniu wygląda tak:
\(\displaystyle{ A^{424} = P\Delta^{424}P ^{-1}}\)
Gdzie delta jest macierzą zdiagonalizowaną.

Tu zaczynąją się moje wątpliwości, czy metoda jest słuszna, bowiem po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

\(\displaystyle{ A^{424} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1+ \sqrt{5}}{2}&\frac{1- \sqrt{5}}{2}\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) ^{424}&0\\0&(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) ^{424}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{5- \sqrt{5}}{10}\\-\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{5+ \sqrt{5}}{10}\end{array}\right]}\)

Tutaj chciałbym zapytać, czy moje myślenie jest słuszne i wystarczy przebrnąć przez dość brzydko wyglądające rachunki, czy jednak coś zrobiłem źle. Bardzo dziękuje za każdą próbe pomocy

[Janusz Tracz]

Wszystko się zgadza rozumowania jaki i rachunki.