Dowód twierdzenia

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 83 razy

Dowód twierdzenia

Post autor: CzarQ »

Wie ktoś gdzie mogę znaleźć albo ktoś ma dowód twierdzenia: Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są rzeczywiste.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: yorgin »

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ k\neq 0}\), to

\(\displaystyle{ k \langle x,x\rangle=\langle kx, x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,A^Tx\rangle =\langle x,Ax\rangle=\langle x,kx\rangle =\overline{k}\langle x,x\rangle,}\)

stąd \(\displaystyle{ k=\overline{k}}\), czyli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą rzeczywistą.
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 83 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: CzarQ »

a mógłbyś powiedzieć co to jest to \(\displaystyle{ k\left\langle x,x \right\rangle}\) i skąd biorą się kolejne przejścia?
Ostatnio zmieniony 3 lip 2018, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ \left< x, y \right>}\) oznacza standardowy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ \CC^n,}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dobrane tak, że \(\displaystyle{ A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\CC)}\).
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 83 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: CzarQ »

a skąd się wziął iloczyn skalarny? bo wiemy tylko że macierz jest symetryczna to nie za bardzo wiem jak taki iloczyn interpretować
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: Janusz Tracz »

Z definicji wartości własnej \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) iloczyn skalarny jest na "zwykłych" wektorach z przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^n}\). Iloczyn skalarny jest definiowany jako

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle= \sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\)

ale bardziej istotne są jego własności (które wynikają z definicji). A po drodze istotnym spostrzeżeniem jest że macierze symetryczne to takie dla których zachodzi \(\displaystyle{ A=A^T}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: Dasio11 »

Janusz Tracz pisze:Iloczyn skalarny jest definiowany jako

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle= \sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\)
Raczej

\(\displaystyle{ \left< x, y \right> = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: Janusz Tracz »

A tak dzięki.

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle= \sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\)

Tak jest dla \(\displaystyle{ x,y\in\RR^n}\)


\(\displaystyle{ \left< x, y \right> = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}}\)

A tak jest w ogólniejszym przypadku gdy \(\displaystyle{ x,y\in\CC^n}\)
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 83 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: CzarQ »

a skąd się wzięło \(\displaystyle{ \left\langle Ax,x \right\rangle=\left\langle x,A^Tx \right\rangle}\) z jakiej wlasnosci to?
Ostatnio zmieniony 3 lip 2018, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: Dasio11 »

Iloczyn skalarny można zapisać jako mnożenie macierzy:

\(\displaystyle{ \left< x, y \right> = x^{\top} \overline{y}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \left< Ax, y \right> = (Ax)^{\top} \overline{y} = x^{\top} A^{\top} \overline{y} = x^{\top} \overline{A^* y} = \left< x, A^* y \right>,}\)

gdzie \(\displaystyle{ A^* = (\overline{A})^{\top}}\) nazywamy macierzą sprzężoną do \(\displaystyle{ A}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ A}\) ma wyrazy rzeczywiste, więc \(\displaystyle{ A^* = A^{\top}}\) (\(\displaystyle{ =A}\), bo macierz jest też symetryczna).
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 83 razy

Re: Dowód twierdzenia

Post autor: CzarQ »

to już ostatnie pytanie skoro iloczyn skalarny to mnozenie macierzy to dlaczego wychodzimy od \(\displaystyle{ k \langle x,x\rangle}\) bo to będzie \(\displaystyle{ k \cdot x^T \cdot \overline{x}}\), czyli wartosc wlasna razy ztransponowany wektor wlasny razy sprzezony wektor wlasny, skad to się wzięło?
Ostatnio zmieniony 3 lip 2018, o 23:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
ODPOWIEDZ