Ortogonalizacja układu wektorów

[WoWombat]

Dzień dobry, chciałbym prosić o pomoc w poniższym zadaniu, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć

Układ wektorów \(\displaystyle{ q_{1}=2x,q_{2}=x-1,q_{3}=2x^{2}}\) zortogonalizować w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) z iloczynem skalarnym określonym wzorem \(\displaystyle{ (p,q) = \int_{-1}^{1} p(x)q(x)dx}\)

[Janusz Tracz]

Trzeba wykonać

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta

na wektorach \(\displaystyle{ q_1,q_2,q_3}\) licząc nowy układ wektorów ortogonalnych zgodnie z algorytmem w linku.

[WoWombat]

Czyli stosując algorytm z linku wynik będzie postaci
\(\displaystyle{ u_{1} = 2x

u_{2} = (x-1) \frac{(x-1,2x)}{(2x,2x)} 2x

u_{3} = 2x^{2} \frac{(2x^{2},u_{2})}{(u_{2},u_{2})} u_{2}}\)

Gdzie ten iloczyn będzie policzony z całki?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ u_1}\) jest ok, natomiast

\(\displaystyle{ u_2=q_2- \frac{\left( q_1,u_1\right) }{\left( u_1,u_1\right) } \cdot u_1}\)

więc zgubiłeś minus w swym zapisie. Oraz jak już policzysz \(\displaystyle{ u_2}\) to możesz liczyć \(\displaystyle{ u_3}\) jako

\(\displaystyle{ u_3=q_3- \frac{\left( q_3,u_1\right)}{\left( u_1,u_1\right)} \cdot u_1- \frac{\left( q_3,u_2\right)}{\left( u_2,u_2\right)} \cdot u_2}\)

Gdzie ten iloczyn będzie policzony z całki?

Dokładnie mówiąc to iloczyn skalarny. Tak będzie on policzony za pomocą całki bo tak w tym zadaniu (ale ogólnie standardowo w przestrzeni funkcyjnej) definiuje się iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny jest liczbą warto o tym pamiętać.

Przykładowo

\(\displaystyle{ (q_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) \cdot 2x \ \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ (u_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) 4x^2 \ \mbox{d}x}\)

[WoWombat]

Dziękuje za pomoc, bardzo mi to pomogło