Dzień dobry, chciałbym prosić o pomoc w poniższym zadaniu, nie mam pojęcia nawet od czego zacząć
Układ wektorów \(\displaystyle{ q_{1}=2x,q_{2}=x-1,q_{3}=2x^{2}}\) zortogonalizować w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) z iloczynem skalarnym określonym wzorem \(\displaystyle{ (p,q) = \int_{-1}^{1} p(x)q(x)dx}\)
Ortogonalizacja układu wektorów
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Ortogonalizacja układu wektorów
Trzeba wykonać na wektorach \(\displaystyle{ q_1,q_2,q_3}\) licząc nowy układ wektorów ortogonalnych zgodnie z algorytmem w linku.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 30 mar 2014, o 17:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 4 razy
Ortogonalizacja układu wektorów
Czyli stosując algorytm z linku wynik będzie postaci
\(\displaystyle{ u_{1} = 2x
u_{2} = (x-1) \frac{(x-1,2x)}{(2x,2x)} 2x
u_{3} = 2x^{2} \frac{(2x^{2},u_{2})}{(u_{2},u_{2})} u_{2}}\)
Gdzie ten iloczyn będzie policzony z całki?
\(\displaystyle{ u_{1} = 2x
u_{2} = (x-1) \frac{(x-1,2x)}{(2x,2x)} 2x
u_{3} = 2x^{2} \frac{(2x^{2},u_{2})}{(u_{2},u_{2})} u_{2}}\)
Gdzie ten iloczyn będzie policzony z całki?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Ortogonalizacja układu wektorów
\(\displaystyle{ u_1}\) jest ok, natomiast
\(\displaystyle{ u_2=q_2- \frac{\left( q_1,u_1\right) }{\left( u_1,u_1\right) } \cdot u_1}\)
więc zgubiłeś minus w swym zapisie. Oraz jak już policzysz \(\displaystyle{ u_2}\) to możesz liczyć \(\displaystyle{ u_3}\) jako
\(\displaystyle{ u_3=q_3- \frac{\left( q_3,u_1\right)}{\left( u_1,u_1\right)} \cdot u_1- \frac{\left( q_3,u_2\right)}{\left( u_2,u_2\right)} \cdot u_2}\)
Przykładowo
\(\displaystyle{ (q_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) \cdot 2x \ \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ (u_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) 4x^2 \ \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ u_2=q_2- \frac{\left( q_1,u_1\right) }{\left( u_1,u_1\right) } \cdot u_1}\)
więc zgubiłeś minus w swym zapisie. Oraz jak już policzysz \(\displaystyle{ u_2}\) to możesz liczyć \(\displaystyle{ u_3}\) jako
\(\displaystyle{ u_3=q_3- \frac{\left( q_3,u_1\right)}{\left( u_1,u_1\right)} \cdot u_1- \frac{\left( q_3,u_2\right)}{\left( u_2,u_2\right)} \cdot u_2}\)
Dokładnie mówiąc to iloczyn skalarny. Tak będzie on policzony za pomocą całki bo tak w tym zadaniu (ale ogólnie standardowo w przestrzeni funkcyjnej) definiuje się iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny jest liczbą warto o tym pamiętać.Gdzie ten iloczyn będzie policzony z całki?
Przykładowo
\(\displaystyle{ (q_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) \cdot 2x \ \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ (u_1,u_1)= \int_{-1}^{1}(x-1) 4x^2 \ \mbox{d}x}\)