Znajdź wektory ortogonalne

[rzeznikzblaviken]

Proszę o pomoc w tym zadaniu

Niech \(\displaystyle{ w_1 =\left(
\begin{array}{ccc}
1\\2\\3
\end{array}
\right),
w_2 =\left(
\begin{array}{ccc}
2\\0\\1
\end{array}
\right),
w_3 =\left(
\begin{array}{ccc}
3\\3\\3
\end{array}
\right) \in \RR}\)
i \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle : \RR^{3} \times \RR^{3} \rightarrow \RR}\) z
\(\displaystyle{ \left\langle u, v\right\rangle = \sum_{j=1}^{3} u_j, v_j}\), gdzie \(\displaystyle{ u = \left(\begin{array}{ccc} u_1\\u_2\\u_3\end{array}\right), v = \left(\begin{array}{ccc} v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)}\)

Znajdź takie dwa wektory \(\displaystyle{ u, v \in \RR^3}\), które odnośnie standardowego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ u}\) jest ortogonalne do \(\displaystyle{ w_1}\), a \(\displaystyle{ v}\) do \(\displaystyle{ w_2}\) i \(\displaystyle{ w_3}\).

[karolex123]

Dwa wektory \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są ortogonalne (względem danej formy dwuliniowej, w tym wypadku standardowego iloczynu skalarnego), jeśli \(\displaystyle{ \left\langle u, v\right\rangle=0}\). Wystarczy wstawić i wyliczyć.
Ogólnie, zbiór wektorów ortogonalnych do danego wektora \(\displaystyle{ v}\) tworzy podprzestrzeń liniową (jeśli badamy prostopadłość ze względu na standardowy iloczyn skalarny będzie to hiperpłaszczyzna). Należy się więc spodziewać, że nie dostaniemy jednoznacznego wektora; w szczególności wektor zerowy jest prostopadły do każdego innego wektora