Baza podprzestrzeni

[gahata]

Cześć, mam pytanie dotyczące liczenia bazy podprzestrzeni
\(\displaystyle{ A=\left\{(a+2b+3c, -a-3b-5c, 2a+4b+6c, 3a-b-5c): a,b,c \in \RR \right\}}\)

Z tego twórzę macierz wektorów:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\-1&-3&-5\\2&4&6\\3&-1&-5\end{bmatrix}}\)

W tym miejscu pojawia się problem, ponieważ nie jestem pewien która droga jest dobra, widzę dwie możliwe i niestety moje umiejętności szukania nie pomogły mi za bardzo

Droga 1)

Przekształcam macierz do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\2&0\\10&7\end{bmatrix}}\)

Z czego wynika, że \(\displaystyle{ dim(A)=2}\).

I teraz nie jestem pewien czy poprawnie, ale \(\displaystyle{ A=\left\{(1,0,2,10)(0,1,0,7)\right\}}\)

Droga 2)

Przekształcam macierz do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\-1&-3&-5\end{bmatrix}}\)

Z czego znowu wynika, że \(\displaystyle{ dim(A)=2}\) i \(\displaystyle{ A=\left\{(1,2,3)(-1,-3,-5)\right\}}\)

Które z powyższych rozwiązań jest (są) poprawne? Jeśli żadne to proszę o skierowanie do jakiegoś poprawnego przykładu rozwiązania lub wytłumaczenie

[janusz47]

Sprowadzamy macierz przekształcenia do postaci schodkowej, stosując na przykład przekształcenia Gaussa-Jordana.

[gahata]

I to zrobiłem, wykreślając wyzerowane kolumny (droga 1) lub wiersze (droga2)

Nie jest to widoczne w drodze 2, ale wynik eliminacji gaussa wyszedł mi taki:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\0&-1&-2\end{bmatrix}}\)
Co sprowadza się do pierwszych dwóch wektorów generujących przestrzeń (drugi wiersz to kombinacja pierwszego i drugiego wektora, dlatego podałem jako wynik macierz składającą się już bezpośrednio z nich).