R(A) i N(A)

[poldeeek]

Witam, mam pytanko co oznacza symbol \(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\), tyle że te \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ N}\) są tak bardzo ładnie pisane i jak to się liczy ? Np. Dla zadnia

Znajdź bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\), gdzie
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\1&2&-1&2&-1\\1&2&5&-7&11\end{array}\right]}\)

Dodatkowo mam pytanie czy \(\displaystyle{ R(A)}\) to byłby obraz jakiegoś przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) danego tą macierzą, \(\displaystyle{ N(A)}\) to byłby jego jądrem ??

[yorgin]

\(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\) to oznaczenia, które powinieneś znać z wykładu, ćwiczeń, notatek lub podręcznika. Oznaczają kolejno obraz i jądro odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ A}\).

Pytanie dodatkowe: tak.

[poldeeek]

To jeszcze zapytam, czy ta macierz w przestrzeniach \(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\) będzie wyglądała następująco i czy zawsze \(\displaystyle{ R(A)}\) to jest po po prostu ta macierz, a \(\displaystyle{ N(A)}\) to jest ta macierz, ale ma zamienione kolumny z wierszami ? ?

\(\displaystyle{ R(A)= \left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\1&2&-1&2&-1\\1&2&5&-7&11\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ N(A) = \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&2\\1&-1&5\\-1&2&7\\3&-1&11\end{array}\right]}\)

Doprowadzić do postaci górno-schodkowej i numery kolumn gdzie są współczynniki wiodące to są numery kolumn, które muszą wziąć z macierzy \(\displaystyle{ A}\), i będą one elementami danej bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\) ?

[yorgin]

To jeszcze zapytam, czy ta macierz w przestrzeniach \(\displaystyle{ R(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\) będzie wyglądała następująco i czy zawsze \(\displaystyle{ R(A)}\) to jest po po prostu ta macierz, a \(\displaystyle{ N(A)}\) to jest ta macierz, ale ma zamienione kolumny z wierszami ? ?

\(\displaystyle{ R(A)= \left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\1&2&-1&2&-1\\1&2&5&-7&11\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ N(A) = \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&2\\1&-1&5\\-1&2&7\\3&-1&11\end{array}\right]}\)

Oczywiście że nie. To co piszesz w ogóle nijak się ma do polecenia. Znalezienie jądra i obrazu to znalezienie wektorów generujących przestrzenie lub jakikolwiek inny opis tychże.

Przestrzeń wektorowa to obiekt innej kategorii niż macierz.

Doprowadzić do postaci górno-schodkowej i numery kolumn gdzie są współczynniki wiodące to są numery kolumn, które muszą wziąć z macierzy A, i będą one elementami danej bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R(A) i N(A)}\) ?

Nie rozumiem pytania. Jakie współczynniki wiodące?

[poldeeek]

Współczynniki wiodące, czyli miejsca w macierzy w postaci górno-schodkowej, gdzie pojawiają się te schodki.

Czyli rozumiem, że takie rozwiązanie [ciach] trochę innego zadania jest błędne ? Bo z tego co zrozumiałem to \(\displaystyle{ R(A)}\) to jest obraz tego odwzorowania liniowego A, a \(\displaystyle{ N(A)}\) byłoby jego jądrem, gdzie \(\displaystyle{ N(A)}\) jest zrobione w taki sposób [ciach].

[Janusz Tracz]

Nie wiem jak otrzymałeś takie wyniki ale jak dla mnie są one kompletnie niepoprawne (nie rozumiem tego tłumaczenia). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\) w \(\displaystyle{ \RR^3}\) to elementami jądra powinny być wektory z \(\displaystyle{ \RR^5}\) a nie macierz tak samo z obrazem którym jest zbiór wektorów z \(\displaystyle{ \RR^3}\) a nie macierz. By znaleźć jądro \(\displaystyle{ A}\) korzystamy z definicji

\(\displaystyle{ \ker A=\left\{ \mathbf{x}\in\RR^5 : A\mathbf{x}=\mathbf{0}_{\in\RR^3}\right\}}\)

Czyli do rozwiązania jest układ równań liniowych postaci

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\1&2&-1&2&-1\\1&2&5&-7&11\end{array}\right]\mathbf{x}=\mathbf{0}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{x}=\left( x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)^T}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{0}=\left( 0,0,0\right)}\)

Analogicznie (z definicji) szuka się obrazy czyli

\(\displaystyle{ \Im A=\left\{ A\mathbf{x}: \mathbf{x}\in\RR^5 \right\}}\)

By określić czym jest obraz warto wyznaczyć bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) tej przestrzenni liniowej \(\displaystyle{ \Im A}\) i zapisać to w postaci

\(\displaystyle{ \Im A=\left\{ A\mathbf{x}: \mathbf{x}\in\RR^5 \right\}=\text{lin} \mathcal{B}}\)

[poldeeek]

Rozwiązania na zdjęciach są dla innej macierzy przekształcenia, która też tam jest. A dla tej co wstawiłem u góry rozwiązania wyglądałyby tak :

\(\displaystyle{ Obraz - R(A) =
\left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\1&2&-1&2&-1\\1&2&5&-7&11\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}1&2&1&-1&3\\0&0&-2&1&4\\0&0&4&-6&12\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array} {ccccc}1&2&1&-1&3\\0&0&-2&1&4\\0&0&0&-4&20\end{array}\right].}\).

Współczynniki wiodące (czyli "schodki" w tej macierzy) to są w kolumnach 1, 3 i 4. Więc bazą \(\displaystyle{ R(A)}\) będą wektory :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1&-1&5\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}-1&2&7\end{array}\right].}\)

\(\displaystyle{ Jadro - N(A)}\) (gdzie A tutaj ma zamienione wiersze z kolumnami) \(\displaystyle{ =
\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&2\\1&-1&5\\-1&2&7\\3&-1&11\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&0\\0&-2&4\\0&3&-6\\0&-4&8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&0\\0&1&-2\\0&3&-6\\0&-4&8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&-2\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right].}\)

Współczynniki wiodące to są w kolumnach 2 i 3. Więc bazą \(\displaystyle{ N(A)}\) będą wektory :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array} {ccccc}1&2&-1&2&-1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1&2&5&-7&11\end{array}\right].}\)


I chciałbym wiedzieć, czy ten sposób wyznaczenia bazy jądra i obrazu są poprawne.