Znajdź taką bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), że baza \(\displaystyle{ ( \RR^{2}) ^{*}}\) złożoną z form:
\(\displaystyle{ \varphi _{1} (x,y)=3x+2y, \; \; \varphi _{2}(x,y)=2x+y}\)
jest bazą do niej dualną.
Baza dualna
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Baza dualna
Dla każdego funkcjonału \(\displaystyle{ \varphi \in (\RR^n)^*}\) istnieje \(\displaystyle{ v \in \RR^n,}\) taki że
\(\displaystyle{ (\forall u \in \RR^n) \, \varphi(u) = \left< u, v \right>}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ U}\) jest macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ u_1, \ldots, u_n}\), które tworzą bazę \(\displaystyle{ \RR^n}\). Rozważmy bazę dualną \(\displaystyle{ (\varphi_1, \ldots, \varphi_n)}\) do \(\displaystyle{ (u_1, \ldots, u_n)}\), tj. taki układ funkcjonałów, że
\(\displaystyle{ \varphi_j( u_i ) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } i = j \\ 0 & \text{gdy } i \neq j \end{cases}}\)
Na mocy uwagi na początku istnieją \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_n \in \RR^n}\), takie że dla \(\displaystyle{ j = 1, \ldots, n}\) mamy
\(\displaystyle{ (\forall u \in \RR^n) \, \varphi_j(u) = \left< u, v_j \right>}\).
Otrzymujemy więc
\(\displaystyle{ \left< u_i, v_j \right> = \varphi_j(u_i) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } i = j \\ 0 & \text{gdy } i \neq j \end{cases}}\).
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ V}\) macierz o kolumnach \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_n}\), to powyższe równości można zapisać pojedynczym równaniem macierzowym
\(\displaystyle{ U^{\top} V = I}\).
Pozwala to zarówno wyznaczyć \(\displaystyle{ V}\) jeśli znamy \(\displaystyle{ U}\), jak i wyznaczyć \(\displaystyle{ U}\) jeśli znamy \(\displaystyle{ V}\).
\(\displaystyle{ (\forall u \in \RR^n) \, \varphi(u) = \left< u, v \right>}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ U}\) jest macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ u_1, \ldots, u_n}\), które tworzą bazę \(\displaystyle{ \RR^n}\). Rozważmy bazę dualną \(\displaystyle{ (\varphi_1, \ldots, \varphi_n)}\) do \(\displaystyle{ (u_1, \ldots, u_n)}\), tj. taki układ funkcjonałów, że
\(\displaystyle{ \varphi_j( u_i ) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } i = j \\ 0 & \text{gdy } i \neq j \end{cases}}\)
Na mocy uwagi na początku istnieją \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_n \in \RR^n}\), takie że dla \(\displaystyle{ j = 1, \ldots, n}\) mamy
\(\displaystyle{ (\forall u \in \RR^n) \, \varphi_j(u) = \left< u, v_j \right>}\).
Otrzymujemy więc
\(\displaystyle{ \left< u_i, v_j \right> = \varphi_j(u_i) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } i = j \\ 0 & \text{gdy } i \neq j \end{cases}}\).
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ V}\) macierz o kolumnach \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_n}\), to powyższe równości można zapisać pojedynczym równaniem macierzowym
\(\displaystyle{ U^{\top} V = I}\).
Pozwala to zarówno wyznaczyć \(\displaystyle{ V}\) jeśli znamy \(\displaystyle{ U}\), jak i wyznaczyć \(\displaystyle{ U}\) jeśli znamy \(\displaystyle{ V}\).