Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, wymia

[wpzd]

Pełna treść zadania które próbuję rozwiązać:
Uzasadnić, że zbiór \(\displaystyle{ U=\{(y-x, x+2z, x-y+3z, -2x-4z): x,y,z \in\RR\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^4}\). Wyznaczyć bazę, podać wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\).

Moje próby opieram na niejasnych definicjach i przykładach z internetu, poniżej pewnie napisałem sporo głupot, także proszę o wyrozumiałość i o ewentualne sprostowanie

Jeśli chodzi o wyznaczanie bazy, to sumuję składniki tego wektora który określa przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) i wyjmuję \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z}\) przed nawias:
\(\displaystyle{ x(0,1,1,-2)+y(1,0,-1,0)+z(-1,2,3,-4)}\)
W nawiasach okrągłych mam wektory które tworzą przestrzeń \(\displaystyle{ U}\)? Dobrze rozumiem? Jeżeli tak, to pojawia się problem:
Chcąc sprawdzić czy powstałe wektory są ortogonalne (tudzież liniowo niezależne? czy to to samo?), muszę całość porównać z zerem:
\(\displaystyle{ \alpha(0,1,1,-2)+\beta(1,0,-1,0)+\gamma(-1,2,3,-4)=0}\)
Okazuje się, że nie są ortogonalne, bo:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-2z
\\y=z
\\z=y
\end{cases}}\)
(a powinno być wszędzie zero). Jak powinienem to interpretować? Wszyskie wymienione wektory są zależne od jednej zmiennej czyli baza składa się z wektora \(\displaystyle{ (-2z, z, z)}\) i wymiar \(\displaystyle{ = 1}\)?

No i dalsza część zadania. Jeżeli zbiór jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ U}\), to znaczy że jeśli pomnożę jakiś dowolny wektor należący do \(\displaystyle{ U}\) przez jakąś stałą, lub dodam \(\displaystyle{ 2}\) takie wektory do siebie, to uzyskany wynik nadal będzie należał do \(\displaystyle{ U}\).

Załóżmy, że mnożę pierwszą wartość wektora podanego w treści zadania przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ \alpha y_1 - \alpha z_1}\). Jak przeglądam rozwiązania w internecie to na tym dowód się kończy, ale mnie to nie przekonuje. Czego dowodzi to przekształcenie? Albo może inaczej: jak by to wyglądało, jeśli wektor \(\displaystyle{ \alpha\vec{u}}\) jednak nie należał do \(\displaystyle{ U}\)?

I na koniec: czym jest właściwie ten wektor podany w treści zadania? \(\displaystyle{ (y-x, x+2z, x-y+3z, -2x-4z)}\) Czym on właściwie jest? Czy to jest w ogóle wektor? Co się dzieje w momencie gdy wyjmuję \(\displaystyle{ x,y,z}\) przed nawias? Rozbijam go na składowe?

[Janusz Tracz]

Kolejność podejścia do zadania powinna być odwrotna bo zaczynasz od użycia narzędzi dla przestrzeni liniowych a nie wiesz czy to jest przestrzeń liniowa (podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^4}\)). Zacząć warto od sprawdzania czy w ogóle \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^4}\). By to sprawdzić trzeba myszą być spełniona 2 warunki.

\(\displaystyle{ (1)\ \ \left( \forall u_1,u_2\in U\right)u_1+u_2\in U}\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ \left( \forall u\in U\ \wedge \ \alpha \in\RR\right) \alpha u\in U}\)

Warki te sprawdzamy poprzez zwykłe rachunki. Na przykład warunek \(\displaystyle{ (2)}\) jest spełniony bo jeśli wybierzemy jakiś tam \(\displaystyle{ u\in U}\) to można zapisać go w postaci \(\displaystyle{ u=\left( y-x,x-2z,x-y+3z,-2x-4z\right)}\) i pomnożenie przez \(\displaystyle{ \alpha}\) nie zmieniani faktu że \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR}\) to \(\displaystyle{ \alpha x, \alpha y, \alpha z\in\RR}\) więc i \(\displaystyle{ \alpha u\in U}\). Warunek \(\displaystyle{ (1)}\) też jest spełniony a pokazania tego zostawiam Tobie.

Jeśli chodzi o wyznaczanie bazy, to sumuję składniki tego wektora który określa przestrzeń U i wyjmuję x, y i z przed nawias:
\(\displaystyle{ x(0,1,1,-2)+y(1,0,-1,0)+z(-1,2,3,-4)}\)
W nawiasach okrągłych mam wektory które tworzą przestrzeń U? Dobrze rozumiem?

Bazę wyznaczyłeś prawie parowanie ale zrobiłeś kilka błędów chyba literówek. Powinno być

\(\displaystyle{ U=\left\{ x\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+y
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+
z\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \ : \ x,y,z\in\RR\right\}}\)

więc

\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right),\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \right\}}\)

Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tworzyć będzie bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\). Można więc sprawdzić czy już nie mamy wektorów liniowo niezależnych co robisz tylko niepoprawnie.

Chcąc sprawdzić czy powstałe wektory są ortogonalne (tudzież liniowo niezależne? czy to to samo?)

To nie jest to samo. Łatwo znaleźć kontrprzykład wektorów nieprostopadłych a jednak niezależnych, układy skośne są na takich wektorach generowane na przykład. Więc sprawdzasz liniową niezależność z definicji i faktycznie liczymy

\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+\gamma \left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right)=0}\)

Nie mieszaj z tym układem żadnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) bo takich zmiennych już używałeś więc robi się zamieszanie. Można zauważyć że ów układ nie implikuje \(\displaystyle{ \alpha =0, \beta =0,\gamma=0}\) bo jest spełniony gdy \(\displaystyle{ \alpha =-2\gamma}\) a to mówi tyle że wektory są liniowo zależne. Można więc układ zmniejszyć do dwóch wektorów a nie trzech które już okażą się niezależne. Na przykład

\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)=0 \ \ \Rightarrow \ \ \alpha = \beta =0}\)

dlatego wprowadzamy poprawkę i zapisujemy

\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{ \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)\right\}=\text{lin}\left\{B\right\}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ B}\) to baza z dwoma elementami. Więc \(\displaystyle{ \dim U=|B|=2}\) a interpretacja tego to płaszczyzna 2 wymiarowa w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+\gamma \left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right)=0}\)

Można zauważyć że ów układ nie implikuje \(\displaystyle{ \alpha =0, \beta =0,\gamma=0}\) bo jest spełniony gdy \(\displaystyle{ \alpha =-2\gamma}\) a to mówi tyle że wektory są liniowo zależne.

[Janusz Tracz]

A faktycznie, dzięki. Ten układ implikuje że \(\displaystyle{ \alpha = \beta =\gamma=0}\) więc te wektory są bazą i jest ich \(\displaystyle{ 3}\) więc wymiar \(\displaystyle{ U}\) to \(\displaystyle{ 3}\).