Pełna treść zadania które próbuję rozwiązać:
Uzasadnić, że zbiór \(\displaystyle{ U=\{(y-x, x+2z, x-y+3z, -2x-4z): x,y,z \in\RR\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^4}\). Wyznaczyć bazę, podać wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\).
Moje próby opieram na niejasnych definicjach i przykładach z internetu, poniżej pewnie napisałem sporo głupot, także proszę o wyrozumiałość i o ewentualne sprostowanie
Jeśli chodzi o wyznaczanie bazy, to sumuję składniki tego wektora który określa przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) i wyjmuję \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z}\) przed nawias:
\(\displaystyle{ x(0,1,1,-2)+y(1,0,-1,0)+z(-1,2,3,-4)}\)
W nawiasach okrągłych mam wektory które tworzą przestrzeń \(\displaystyle{ U}\)? Dobrze rozumiem? Jeżeli tak, to pojawia się problem:
Chcąc sprawdzić czy powstałe wektory są ortogonalne (tudzież liniowo niezależne? czy to to samo?), muszę całość porównać z zerem:
\(\displaystyle{ \alpha(0,1,1,-2)+\beta(1,0,-1,0)+\gamma(-1,2,3,-4)=0}\)
Okazuje się, że nie są ortogonalne, bo:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-2z
\\y=z
\\z=y
\end{cases}}\)
(a powinno być wszędzie zero). Jak powinienem to interpretować? Wszyskie wymienione wektory są zależne od jednej zmiennej czyli baza składa się z wektora \(\displaystyle{ (-2z, z, z)}\) i wymiar \(\displaystyle{ = 1}\)?
No i dalsza część zadania. Jeżeli zbiór jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ U}\), to znaczy że jeśli pomnożę jakiś dowolny wektor należący do \(\displaystyle{ U}\) przez jakąś stałą, lub dodam \(\displaystyle{ 2}\) takie wektory do siebie, to uzyskany wynik nadal będzie należał do \(\displaystyle{ U}\).
Załóżmy, że mnożę pierwszą wartość wektora podanego w treści zadania przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ \alpha y_1 - \alpha z_1}\). Jak przeglądam rozwiązania w internecie to na tym dowód się kończy, ale mnie to nie przekonuje. Czego dowodzi to przekształcenie? Albo może inaczej: jak by to wyglądało, jeśli wektor \(\displaystyle{ \alpha\vec{u}}\) jednak nie należał do \(\displaystyle{ U}\)?
I na koniec: czym jest właściwie ten wektor podany w treści zadania? \(\displaystyle{ (y-x, x+2z, x-y+3z, -2x-4z)}\) Czym on właściwie jest? Czy to jest w ogóle wektor? Co się dzieje w momencie gdy wyjmuję \(\displaystyle{ x,y,z}\) przed nawias? Rozbijam go na składowe?
Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, wymia
Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, wymia
Ostatnio zmieniony 19 cze 2018, o 00:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, wymia
Kolejność podejścia do zadania powinna być odwrotna bo zaczynasz od użycia narzędzi dla przestrzeni liniowych a nie wiesz czy to jest przestrzeń liniowa (podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^4}\)). Zacząć warto od sprawdzania czy w ogóle \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^4}\). By to sprawdzić trzeba myszą być spełniona 2 warunki.
\(\displaystyle{ (1)\ \ \left( \forall u_1,u_2\in U\right)u_1+u_2\in U}\)
\(\displaystyle{ (2) \ \ \left( \forall u\in U\ \wedge \ \alpha \in\RR\right) \alpha u\in U}\)
Warki te sprawdzamy poprzez zwykłe rachunki. Na przykład warunek \(\displaystyle{ (2)}\) jest spełniony bo jeśli wybierzemy jakiś tam \(\displaystyle{ u\in U}\) to można zapisać go w postaci \(\displaystyle{ u=\left( y-x,x-2z,x-y+3z,-2x-4z\right)}\) i pomnożenie przez \(\displaystyle{ \alpha}\) nie zmieniani faktu że \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR}\) to \(\displaystyle{ \alpha x, \alpha y, \alpha z\in\RR}\) więc i \(\displaystyle{ \alpha u\in U}\). Warunek \(\displaystyle{ (1)}\) też jest spełniony a pokazania tego zostawiam Tobie.
\(\displaystyle{ U=\left\{ x\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+y
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+
z\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \ : \ x,y,z\in\RR\right\}}\)
więc
\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right),\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \right\}}\)
Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tworzyć będzie bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\). Można więc sprawdzić czy już nie mamy wektorów liniowo niezależnych co robisz tylko niepoprawnie.
\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+\gamma \left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right)=0}\)
Nie mieszaj z tym układem żadnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) bo takich zmiennych już używałeś więc robi się zamieszanie. Można zauważyć że ów układ nie implikuje \(\displaystyle{ \alpha =0, \beta =0,\gamma=0}\) bo jest spełniony gdy \(\displaystyle{ \alpha =-2\gamma}\) a to mówi tyle że wektory są liniowo zależne. Można więc układ zmniejszyć do dwóch wektorów a nie trzech które już okażą się niezależne. Na przykład
\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)=0 \ \ \Rightarrow \ \ \alpha = \beta =0}\)
dlatego wprowadzamy poprawkę i zapisujemy
\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{ \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)\right\}=\text{lin}\left\{B\right\}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ B}\) to baza z dwoma elementami. Więc \(\displaystyle{ \dim U=|B|=2}\) a interpretacja tego to płaszczyzna 2 wymiarowa w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)
\(\displaystyle{ (1)\ \ \left( \forall u_1,u_2\in U\right)u_1+u_2\in U}\)
\(\displaystyle{ (2) \ \ \left( \forall u\in U\ \wedge \ \alpha \in\RR\right) \alpha u\in U}\)
Warki te sprawdzamy poprzez zwykłe rachunki. Na przykład warunek \(\displaystyle{ (2)}\) jest spełniony bo jeśli wybierzemy jakiś tam \(\displaystyle{ u\in U}\) to można zapisać go w postaci \(\displaystyle{ u=\left( y-x,x-2z,x-y+3z,-2x-4z\right)}\) i pomnożenie przez \(\displaystyle{ \alpha}\) nie zmieniani faktu że \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR}\) to \(\displaystyle{ \alpha x, \alpha y, \alpha z\in\RR}\) więc i \(\displaystyle{ \alpha u\in U}\). Warunek \(\displaystyle{ (1)}\) też jest spełniony a pokazania tego zostawiam Tobie.
Bazę wyznaczyłeś prawie parowanie ale zrobiłeś kilka błędów chyba literówek. Powinno byćJeśli chodzi o wyznaczanie bazy, to sumuję składniki tego wektora który określa przestrzeń U i wyjmuję x, y i z przed nawias:
\(\displaystyle{ x(0,1,1,-2)+y(1,0,-1,0)+z(-1,2,3,-4)}\)
W nawiasach okrągłych mam wektory które tworzą przestrzeń U? Dobrze rozumiem?
\(\displaystyle{ U=\left\{ x\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+y
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+
z\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \ : \ x,y,z\in\RR\right\}}\)
więc
\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{\left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right),\left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right) \right\}}\)
Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tworzyć będzie bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ U}\). Można więc sprawdzić czy już nie mamy wektorów liniowo niezależnych co robisz tylko niepoprawnie.
To nie jest to samo. Łatwo znaleźć kontrprzykład wektorów nieprostopadłych a jednak niezależnych, układy skośne są na takich wektorach generowane na przykład. Więc sprawdzasz liniową niezależność z definicji i faktycznie liczymyChcąc sprawdzić czy powstałe wektory są ortogonalne (tudzież liniowo niezależne? czy to to samo?)
\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+\gamma \left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right)=0}\)
Nie mieszaj z tym układem żadnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) bo takich zmiennych już używałeś więc robi się zamieszanie. Można zauważyć że ów układ nie implikuje \(\displaystyle{ \alpha =0, \beta =0,\gamma=0}\) bo jest spełniony gdy \(\displaystyle{ \alpha =-2\gamma}\) a to mówi tyle że wektory są liniowo zależne. Można więc układ zmniejszyć do dwóch wektorów a nie trzech które już okażą się niezależne. Na przykład
\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)=0 \ \ \Rightarrow \ \ \alpha = \beta =0}\)
dlatego wprowadzamy poprawkę i zapisujemy
\(\displaystyle{ U=\text{lin}\left\{ \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)\right\}=\text{lin}\left\{B\right\}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ B}\) to baza z dwoma elementami. Więc \(\displaystyle{ \dim U=|B|=2}\) a interpretacja tego to płaszczyzna 2 wymiarowa w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, wymia
Janusz Tracz pisze:\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{ccc}
-1 \\
1 \\
1 \\
-2
\end{array} \right)+ \beta
\left( \begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)+\gamma \left( \begin{array}{ccc}
0 \\
2 \\
3 \\
-4
\end{array} \right)=0}\)
Można zauważyć że ów układ nie implikuje \(\displaystyle{ \alpha =0, \beta =0,\gamma=0}\) bo jest spełniony gdy \(\displaystyle{ \alpha =-2\gamma}\) a to mówi tyle że wektory są liniowo zależne.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Uzasadnić że zbiór jest podprzestrzenią, znaleźć bazę, w
A faktycznie, dzięki. Ten układ implikuje że \(\displaystyle{ \alpha = \beta =\gamma=0}\) więc te wektory są bazą i jest ich \(\displaystyle{ 3}\) więc wymiar \(\displaystyle{ U}\) to \(\displaystyle{ 3}\).