Przekształcenie izometryczne w 3D.

[radi0aktywna]

Cześć, przychodzę z takim zadaniem, za które nie wiem jak się wziąć:
Wyznacz macierz dowolnego przekształcenia izometrycznego w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) , które przekształca punkt \(\displaystyle{ (0, 0, -5)}\) na \(\displaystyle{ (0, 5, 0)}\) oraz punkt \(\displaystyle{ (-1, 0, 0)}\) na \(\displaystyle{ (0, 0, -1)}\).

[karolex123]

Rozumiem, że ma to być izometria liniowa?
Jeśli tak, to punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\) musi przejść na punkt \(\displaystyle{ \left( 0,-1,0\right)}\), a punkt \(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right)}\)- na punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\) (z jednorodności). Zostaje nam do przekształcenia jeszcze jeden wektor bazy ortonormalnej: \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\). Możemy go przekształcić na \(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right)}\). Rzeczywiście, wówczas macierz tak skonstruowanej izometrii w naszej ortonormalnej bazie to \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{array}\right]}\) i już widać, że jest to izometria (jeśli nie widać, to policzyć \(\displaystyle{ A ^{T}A}\)- powinna wyjść macierz identycznościowa, łatwiej- popatrzeć na wektory- kolumny, a konkretnie na ich normy i wzajemną prostopadłość)

[radi0aktywna]

Super! Dokładnie tak, chodziło o izometrię liniową